번역:일반 상대성 이론에 대하여 문서 원본 보기

{{번역 머리말
| 제목 = 일반 상대성 이론에 대하여
| 다른 표기 = Zur allgemeinen Relativitätstheorie
| 부제 = ''Sitzungsberichte der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften'': 778-786, 799-801
| 부제 다른 표기 =
| 저자 = [[w:알베르트 아인슈타인|알베르트 아인슈타인]](Albert Einstein)
| 역자 = 
| 이전 = 
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| 연도 = 
| 언어 = 
| 원본 = 
| portal = 상대성 이론
| 설명 = 독일어 원문: Zur allgemeinen Relativitätstheorie, ''Sitzungsberichte der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften'': 778-786[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/569]; 799-801(Nachtrag) [https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/254]. 

전체적으로 Princeton 대학의 CPAE(The Collected Papers of Albert Einstein) Vol.6, Doc.21, 22의 영문 번역[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/110][https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/120] 및 첨삭 [https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/252#,][https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/257]을 따랐으나, 불필요하게 변형된 수식 표현/문장 및 어색한 표현은 독일어 원문을 존중함.

1915년 11월 아인슈타인은 중력장 방정식을 대거 수정하였음. 11월 매주 논문을 제출하면서 일반 공변성을 단계적, 점진적으로 확보해나감. 11월 4일 자의 본문, 11일 자의 보충이 함께 수록됨.}}
== 본문(11월 4일) ==
{{c|{{xx-larger|'''일반 상대성 이론에 대하여'''}}}}
{{c|Zur allgemeinen Relativitätstheorie}}


{{c|'''알베르트 아인슈타인'''<br>
A.Einstein}}


최근 몇 해 동안 나는 상대성 원리가 균일하지 않은 운동에도 적용된다는 것을 전제로 일반 상대성 이론의 기초를 세우려 노력하였다. 나는 실제로 일반 상대성 공준에 부합하는 유일한 중력 법칙을 찾았다고 믿었으며, 이 해법의 필연성을 작년 회의 보고서(''Sitzungsberichte'')에 제출한 논문<ref>"Die formale Grundlage der Relativitätstheorie," Sitzungsberichte 41 (1914), pp. 1066-1077. 앞으로 이 논문의 방정식들은 현재의 논문과 구분할 수 있도록 "<math>\text{l.c.}</math>"라는 기호와 함께 인용한다.</ref>에서 보이려고 하였다.

새로운 비판을 통해, 나는 이러한 필연성을 그곳에서 제시했던 방법으로는 일절 증명할 수 없다는 것을 깨달았다. 그것을 해낸 것으로 보였던 것은 오류에 기반한 것이었다. 상대성 공준은, 내가 요구한대로라면, 해밀턴 원리를 바탕으로 했을 때 언제나 충족된다; 그러나, 실제에서 그것은 중력장의 해밀턴 함수 <math>H</math>를 결정하는 어떠한 방법도 제공해주지 못한다. 실제로, <math>H</math>의 선택을 제한하는 방정식 <math>(77)\,\text{l.c.}</math>는 <math>H</math>가 선형 변환에 대해서 불변이어야 한다는 표현 이상도 이하도 아니며, 그러한 요구는 가속도의 상대성과는 하등 관계가 없다. 더 나아가, 방정식 <math>(77)</math>에 의해 선택되었던 방정식 <math>(78)\,\text{l.c.}</math>는 어떠한 수로도 고정되지 못한다.

이러한 이유들로 인해 나는 내가 유도했던 장 방정식에 대한 믿음을 잃었으며, 가능성을 제한할 수 있는 보다 자연스러운 방법을 모색하였다. 이러한 과정에서 나는 장 방정식이 보다 일반적인 공변성을 가져야 한다는 요구로 되돌아왔으며, 이는 3년 전 내 친구 그로스만과 함께 작업하였을 때 무거운 마음으로 포기한 것이었다. 사실, 우리는 그 때 이 문제의 해법에 거의 가까웠으며, 이는 다음에 제시될 것이다.

특수 상대성 이론이 선형 직교 변환에 대하여 모든 방정식들이 공변적이어야 한다는 공준을 바탕으로 하고 있듯이, 이곳에서 구축하는 이론은 모든 방정식이 행렬식이 <math>1</math>인 모든 변환에 대하여 공변적이어야 한다는 공준을 바탕에 둔다.

이를 진정으로 이해했다면 누구도 그 매력에서 헤어나지 못할 것이다. 이것은 가우스, 리만, 리치, 레비치비타가 세운 일반미분학(절대미분학)의 진정한 승리를 선언하기 때문이다.

=== §1. 공변량을 만드는 법칙. ===
작년의 내 논문에서 절대 미분학의 방법에 대한 자세한 설명을 제공했으므로, 공변량들을 생성하는 법칙에 대해서는 줄여도 괜찮을 것 같다. 그러므로 우리는 행렬식이 <math>1</math>인 변환만이 허용되었을 때 무엇이 바뀌는지만 조사해도 된다. 모든 변환에 대하여 유효한 식


{{c|<math>d\tau' = \frac{\partial(x_1' \cdot\cdot\cdot x_4')}{\partial(x_1 \cdot\cdot\cdot x_4)}d\tau</math>}}


는 우리 이론의 전제, 즉


{{c|<math>\frac{\partial(x_1' \cdot\cdot\cdot x_4')}{\partial(x_1 \cdot\cdot\cdot x_4)}=1 \quad...(1)</math>}}


로 인해 이제


{{c|<math>d\tau' = d\tau \quad...(2)</math>}}


이고, 따라서 <math>4</math>차원 부피소 <math>d\tau</math>는 불변량이다. 더 나아가 (방정식 <math>(17)\,\text{l.c.}</math>) <math>\sqrt{-g}d\tau</math>는 임의의 변환에 대하여 불변이므로, 우리가 관심을 갖는 군에 대하여


{{c|<math>\sqrt{-g\,'} = \sqrt{-g} \quad...(3)</math>}}


가 도출된다. <math>g_{\mu\nu}</math>의 행렬식은 따라서 불변량이다. <math>\sqrt{-g}</math>의 스칼라 성질로 인해 일반 공변적인 공식과 비교하여 공변량을 구성하는 공식들을 단순화할 수 있다. 짧게 말해서, 인수 <math>\sqrt{-g}</math>와 <math>\frac{1}{\sqrt{-g}}</math>은 더이상 기본 공식들에 등장하지 않으며, 텐서와 <math>V</math>-텐서의 구분은 제거된다. 특히 다음을 얻는다:


'''1.''' 텐서 <math>G_{iklm} = \sqrt{-g}\,\delta_{iklm}</math>과 <math>G^{iklm} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\,\delta_{iklm}</math> (<math>(19)</math> 및 <math>(21a)\,\text{l.c.}</math>)는 이제 보다 간단한 구조를 갖는


{{c|<math>G_{iklm} = G^{\,iklm} = \delta_{iklm} \quad...(4)</math>}}


으로 바뀐다. 


'''2.''' 텐서의 확장에 관한 기본 공식 <math>(29)\,\text{l.c.}</math>와 <math>(30)\,\text{l.c.}</math>는 우리의 전제 하에서 더 간단한 것으로 교체되지는 않으나 (<math>(30)\,\text{l.c.}</math>과 <math>(31)\,\text{l.c.}</math>의 조합으로 표현되는) 발산을 정의하는 식은 간단화될 수 있다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.


{{c|<math>A^{\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_l} = \sum_s\frac{\partial A^{\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_ls}}{\partial x_s} + \sum_{s\tau}\left[\left\{{s\tau\atop \alpha_1}\right\}A^{\tau\alpha_2\cdot\cdot\cdot\alpha_ls}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\left\{{s\tau\atop \alpha_l}\right\}A^{\tau\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_{l-1}s}\right] + \sum_{s\tau}\left\{{s\tau\atop s}\right\}A^{\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_l\tau} \quad...(5)</math>}}


그런데 <math>(24)\,\text{l.c.}</math>와 <math>(24a)\,\text{l.c.}</math>에 따라서


{{c|<math>\sum_{\tau}\left\{{s\tau\atop s}\right\} = \frac{1}{2}\sum_{\alpha s}g^{s\alpha}\left(\frac{\partial g_{s\alpha}}{\partial x_{\tau}} + \frac{\partial g_{\tau\alpha}}{\partial x_s} - \frac{\partial g_{s\tau}}{\partial x_{\alpha}}\right) = \frac{1}{2}\sum_{s\alpha}g^{s\alpha}\frac{\partial g_{s\alpha}}{\partial x_{\tau}} = \frac{\partial(\log\sqrt{-g})}{\partial x_{\tau}} \quad...(6)</math>}}


이며, 이 양은 <math>(3)</math>으로 인해 벡터의 성질을 갖는다. 결과적으로, <math>(5)</math>의 우변의 마지막 항은 그 자체로 랭크 <math>l</math>의 반변 텐서이다. 우리는 따라서 <math>(5)</math>를 발산에 대한 보다 간단한 정의로 바꿀 수 있다. 즉,


{{c|<math>A^{\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_l} = \sum_s\frac{\partial A^{\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_ls}}{\partial x_s} + \sum_{s\tau}\left[\left\{{s\tau\atop \alpha_1}\right\}A^{\tau\alpha_2\cdot\cdot\cdot\alpha_ls}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\left\{{s\tau\atop \alpha_l}\right\}A^{\tau\alpha_1\cdot\cdot\cdot\alpha_{l-1}s}\right] \quad...(5a)</math>}}


이며 앞으로도 이와 같이 할 것이다.

예를 들어, 정의 <math>(37)\,\text{l.c.}</math>


{{c|<math>\Phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\sum_{\mu}\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}(\sqrt{-g}A^{\mu})</math>}}


는 보다 간단한 정의


{{c|<math>\Phi = \sum_{\mu}\frac{\partial A^{\mu}}{\partial x_{\mu}} \quad...(7)</math>}}


로 교체되어야 하며 반변 <math>6</math>-벡터의 발산식 <math>(40)\,\text{l.c.}</math> 또한 더 간단한


{{c|<math>A^{\mu} = \sum_{\nu}\frac{\partial A^{\mu\nu}}{\partial x_{\nu}} \quad...(8)</math>}}


가 되어야 한다. <math>(41a)\,\text{l.c.}</math> 대신, 우리의 가정에 의해


{{c|<math>A_{\sigma} = \sum_{\nu}\frac{\partial A^{\nu}_{\sigma}}{\partial x_{\nu}} - \frac{1}{2}\sum_{\mu\nu\tau}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}A^{\nu}_{\tau} \quad...(9)</math>}}


를 얻는다. <math>(41b)\,\text{l.c.}</math>와 비교하면, 우리의 가정 속에서 발산 규칙은 일반 미분학에서의 <math>V</math>-텐서에 관한 발산 규칙과 동일하다는 것을 알 수 있다. 이는 (<math>(5)</math> 및 <math>(5a)</math>로부터 유도되는) 어떤 텐서의 발산에도 적용된다.


'''3.''' 행렬식이 <math>1</math>인 변환으로의 제한은 <math>g_{\mu\nu}</math>와 그 도함수로부터만 형성된 공변량들에 대한 가장 큰 수준의 단순화로 이어진다. 수학에서는 이러한 공변량들이 모두 랭크 <math>4</math>의 리만-크리스토펠 텐서로부터 유도될 수 있음을 증명하였다. 이 텐서는 (공변 형태로) 다음과 같다:


{{c|<math>(ik, lm) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2g_{im}}{\partial x_k\partial x_l} + \frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x_i\partial x_m} - \frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x_k\partial x_m} - \frac{\partial^2g_{mk}}{\partial x_l\partial x_i}\right) + \sum_{\rho\sigma}g^{\rho\sigma}\left(\left[{im\atop \rho}\right]\left[{kl\atop \sigma}\right] - \left[{il\atop \rho}\right]\left[{km\atop \sigma}\right]\right) \quad...(10)</math>}}


중력의 문제는 우리가 이 랭크 <math>4</math>의 텐서와 <math>g_{\mu\nu}</math>의 내적으로 만들어질 수 있는 랭크 <math>2</math>-텐서들에 특별히 관심을 둔다는 것을 의미한다. <math>(10)</math>으로부터 명백한 리만 텐서의 대칭성, 즉


{{c|<math>\begin{aligned} (ik, lm) &= (lm, ik) \\ (ik, lm) &= -(ki, lm) \end{aligned}\quad...(11)</math>}}


으로 인해 이러한 곱은 오직 한 가지 방법으로만 만들어질 수 있다. 이로써 텐서


{{c|<math>G_{im} = \sum_{kl}g^{kl}(ik, lm) \quad...(12)</math>}}


을 얻는다. 우리의 목적을 위해서는 이 텐서를 크리스토펠이 제공한 <math>(10)</math>의 다른 형태로부터 유도하는 것이 가치가 있다.<ref>이 표현식이 텐서 성질을 갖는다는 간단한 증명은 내가 반복적으로 인용하는 논문의 p.1053에서 찾을 수 있다.</ref> 즉,


{{c|<math>\left\{ik, lm\right\} = \sum_{\rho}g^{k\rho}(i\rho, lm) = \frac{\displaystyle \partial\left\{{il\atop k}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\displaystyle \partial\left\{{im\atop k}\right\}}{\partial x_l} + \sum_{\rho}\left[\left\{{il\atop \rho}\right\}\left\{{\rho m\atop k}\right\} - \left\{{im\atop \rho}\right\}\left\{{\rho l\atop k}\right\}\right] \quad...(13)</math>}}


이 텐서에 텐서


{{c|<math>\delta^l_k = \sum_{\alpha}g_{k\alpha}g^{\alpha l}</math>}}


를 곱(내적)하면 <math>G_{im}</math>을 얻는다. 즉,


{{c|<math>\begin{aligned} G_{im} &= \left\{il, lm\right\} = R_{im} + S_{im} \quad...(14) \\ \\ R_{im} &= -\frac{\displaystyle \partial\left\{{im\atop l}\right\}}{\partial x_l} + \sum_{\rho}\left\{{il\atop \rho}\right\}\left\{{\rho m\atop l}\right\} \quad...(14a) \\ \\ S_{im} &= \frac{\displaystyle \partial\left\{{il\atop l}\right\}}{\partial x_m} - \left\{{im\atop \rho}\right\}\left\{{\rho l\atop l}\right\} \quad...(14b) \end{aligned}</math>}}


이다. 행렬식이 <math>1</math>인 변환으로 제한하면, <math>(G_{im})</math>이 텐서일 뿐만 아니라, <math>(R_{im})</math>과 <math>(S_{im})</math> 또한 텐서의 성질을 갖는다. 이는 <math>\sqrt{-g}</math>가 스칼라라는 사실과 <math>(6)</math>으로 인해 <math>\left\{{il\atop l}\right\}</math>이 공변 <math>4</math>-벡터라는 사실로부터 나오는데, 여기에서 <math>(S_{im})</math>은, <math>(29)\,\text{l.c.}</math> 때문에 이 <math>4</math>-벡터의 확장에 지나지 않는다. 즉, 텐서이다. <math>(G_{im})</math>과 <math>(S_{im})</math>가 텐서의 성질을 가지므로 <math>(14)</math>로부터 <math>(R_{im})</math> 또한 마찬가지이다. 후자의 텐서는 중력 이론에서 매우 중요하다.

=== §2. "물질" 과정의 미분 법칙에 관한 언급. ===
'''1.''' (진공에서의 전자기 과정을 포함한) 물질에 관한 에너지-운동량 정리.

앞 절에서의 일반적인 고려사항에 의하면, 방정식 <math>(42a)\,\text{l.c.}</math>는


{{c|<math>\sum_{\nu}\frac{\partial T^{\nu}_{\sigma}}{\partial x_{\nu}} = \frac{1}{2}\sum_{\mu\tau\nu}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}T^{\nu}_{\tau} + K_{\sigma} \quad...(15)</math>}}


로 대체되어야 한다. 여기에서 <math>T^{\nu}_{\sigma}</math>는 일반적인 텐서이고, <math>K_{\sigma}</math>는 일반적인 <math>4</math>-벡터이다. (각각 <math>V</math>텐서, <math>V</math>-벡터가 아니다.) 이 방정식에 대하여, 앞으로 중요해지는 한 가지 언급을 덧붙이려 한다. 보존 법칙은 내가 과거에


{{c|<math>\frac{1}{2}\sum_{\mu}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}</math>}}


를 중력장의 성분에 대한 자연스러운 표현으로 보게 만들었으나, 절대 미분학의 공식들에 따르면 이 대신 크리스토펠 기호 


{{c|<math>\left\{{\nu\sigma\atop \tau}\right\}</math>}}


를 도입하는 것이 보다 명백하다. 전자의 견해는 치명적인 편견이었다. 크리스토펠 기호를 우선하는 것은 그 자체로 정당한 것으로, 특히 그 공변 첨수(여기에서는 <math>\nu</math>와 <math>\sigma</math>)에 대하여 대칭적이라는 점, 근본적 중요성을 갖는 측지선 방정식 <math>(23b)\,\text{l.c.}</math> (이는 물리적 관점에서 중력장에서의 질점의 운동 방정식이다)에 등장한다는 점이 그러하다. 식 <math>(15)</math>가 대체제가 될 수 없는 이유는 우변의 첫번째 항을


{{c|<math>\sum_{\nu\tau}\left\{{\sigma\nu\atop \tau}\right\}T^{\nu}_{\tau}</math>}}


의 형태로 바꿀 수 있기 때문이다. 따라서, 이제부터는


{{c|<math>\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = -\left\{{\mu\nu\atop \sigma}\right\} = -\sum_{\alpha}g^{\sigma\alpha}\left[{\mu\nu\atop \alpha}\right] = -\frac{1}{2}\sum_{\alpha}g^{\sigma\alpha}\left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_{\nu}} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_{\mu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}}\right) \quad...(16)</math>}}


를 중력장의 성분이라 부를 것이다. <math>K_{\nu}</math>는 <math>T^{\nu}_{\sigma}</math>가 모든 "물질" 과정에 대한 에너지 텐서를 나타낼 때 사라지며, 보존 정리 <math>(15)</math>는


{{c|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial T^{\alpha}_{\sigma}}{\partial x_{\alpha}} = -\sum_{\alpha\beta}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}T^{\beta}_{\alpha} \quad...(15a)</math>}}


의 형태를 가진다.

중력장에 놓인 질점의 운동 방정식 <math>(23b)\,\text{l.c.}</math>이 다음 형태를 갖는 것을 주목한다.


{{c|<math>\frac{d^2 x_{\tau}}{ds^2} = \sum_{\mu\nu}\Gamma^{\tau}_{\mu\nu}\frac{dx_{\mu}}{ds}\frac{dx_{\nu}}{ds} \quad...(17)</math>}}


'''2.''' 인용된 논문의 10절과 11절에서의 고려사항은 변동이 없다. 다만 <math>V</math>-스칼라, <math>V</math>-텐서라 부른 구조들은 이제 각각 일반적인 스칼라, 텐서이다.

=== §3. 중력장 방정식. ===
지금까지 말한 것으로부터, 중력장 방정식이 다음의 형태인 것은 명확하다.


{{c|<math>R_{\mu\nu} = -\varkappa\,T_{\mu\nu} \quad...(18)</math>}}


우리는 이 방정식이 행렬식이 <math>1</math>인 임의의 변환에 대하여 공변적이라는 것을 이미 알고 있다. 실제로, 이 방정식은 우리가 요구하는 모든 조건들을 만족시킨다. 더 자세하게 쓰면, <math>(14a)</math>와 <math>(16)</math>으로부터


{{c|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}} + \sum_{\alpha\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} = -\varkappa\,T_{\mu\nu} \quad...(18a)</math>}}


이다. 이제, 이 장방정식이 해밀토니언 형태


{{c|<math>\left.\begin{array} {c} \displaystyle \delta\left\{\int\left(\mathfrak{L} - \varkappa\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\right)d\tau\right\} \\ \\ \displaystyle \mathfrak{L} = \sum_{\sigma\tau\alpha\beta}g^{\sigma\tau}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}\Gamma^{\beta}_{\tau\alpha}\end{array}\right\} \quad...(19)</math>}}


로 쓸 수 있다는 것을 보이려고 한다. 여기에서 <math>g^{\mu\nu}</math>에 대하여 변분하고, <math>T_{\mu\nu}</math>는 상수로 취급해야 한다. 즉, <math>(19)</math>는 방정식


{{c|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right) - \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}} = -\varkappa\,T_{\mu\nu} \quad...(20)</math>}}


와 동치인데, 여기에서 <math>\mathfrak{L}</math>은 <math>g^{\mu\nu}</math>와 <math>\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}} (=g^{\mu\nu}_{\sigma})</math>의 함수로 여겨야 한다. 한편, 길지만 복잡하지 않은 계산을 진행하면 관계식


{{c|<math>\begin{aligned} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}} &= - \sum_{\alpha\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} \quad...(21) \\ \\ \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}} &= \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} \quad...(21a) \end{aligned}</math>}}


가 도출된다. 이것과 <math>(19)</math>는 장방정식 <math>(18a)</math>를 제공한다.

이제, 에너지와 운동량의 보존 원리가 만족된다는 것을 쉽게 보일 수 있다. <math>(20)</math>에 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma}</math>를 곱한 뒤 첨수 <math>\mu</math>와 <math>\nu</math>에 대하여 더해주면, 관례적인 재배열을 거쳐


{{c|<math>\sum_{\alpha\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\mu\nu}_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right) - \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial x_{\sigma}} = -\varkappa\sum_{\mu\nu}T_{\mu\nu}g^{\mu\nu}_{\sigma}</math>}}


를 얻는다. 한편 <math>(15)</math>에 의하면, 물질의 "전체" 에너지 텐서에 대하여


{{c|<math>\sum_{\lambda}\frac{\partial T^{\lambda}_{\sigma}}{\partial x_{\lambda}} = -\frac{1}{2}\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}T_{\mu\nu}</math>}}


를 얻는다. 마지막 두 방정식으로부터


{{c|<math>\sum_{\lambda}\frac{\partial}{\partial x_{\lambda}}\left(T^{\lambda}_{\sigma} + t^{\lambda}_{\sigma}\right) = 0 \quad...(22)</math>}}


이다. 여기에서


{{c|<math>t^{\lambda}_{\sigma} = \frac{1}{2\varkappa}\left(\mathfrak{L}\,\delta^{\lambda}_{\sigma} - \sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}_{\lambda}}\right) \quad...(22a)</math>}}


은 중력장의 "에너지 텐서"를 표현하는데, 이것은 오직 선형 변환에 대해서만 텐서의 성질을 갖는다. 간단한 재배열을 거쳐, <math>(22a)</math>와 <math>(21a)</math>로부터


{{c|<math>t^{\lambda}_{\sigma} = \frac{1}{2}\delta^{\lambda}_{\sigma}\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} - \sum_{\mu\nu\alpha}g^{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}\Gamma^{\lambda}_{\nu\alpha} \quad...(22b)</math>}}


를 얻는다. 마지막으로, 장방정식으로부터 도출되는 두 스칼라 방정식을 유도하려고 한다. <math>(18a)</math>에 <math>g^{\mu\nu}</math>를 곱한 다음 <math>\mu</math>와 <math>\nu</math>에 대하여 더하면, 간단한 재배열을 거쳐


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2g^{\alpha\beta}}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}} - \sum_{\sigma\tau\alpha\beta}g^{\sigma\tau}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}\Gamma^{\beta}_{\tau\alpha} + \sum_{\alpha\beta}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\log{\sqrt{-g}}}{\partial x_{\beta}}\right) = -\varkappa\sum_{\sigma}T^{\sigma}_{\sigma} \quad...(23)</math>}}


를 얻는다. 한편, <math>(18a)</math>에 <math>g^{\nu\lambda}</math>를 곱한 다음 <math>\nu</math>에 대하여 더하면,


{{c|<math>\sum_{\alpha\nu}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\nu\lambda}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right) - \sum_{\alpha\beta\nu}g^{\nu\beta}\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}\Gamma^{\lambda}_{\beta\alpha} = -\varkappa\,T^{\lambda}_{\mu}</math>}}


를 얻는다. 또는 <math>(22b)</math>를 고려하면


{{c|<math>\sum_{\alpha\nu}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\nu\lambda}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right) - \frac{1}{2}\delta^{\lambda}_{\mu}\sum_{\mu\nu\alpha\beta}g^{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} = -\varkappa\,\left(T^{\lambda}_{\mu} + t^{\lambda}_{\mu}\right)</math>}}


이다. <math>(22)</math>를 고려한 뒤, 간단한 재배열을 거치면


{{c|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2g^{\alpha\beta}}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}} - \sum_{\sigma\tau\alpha\beta}g^{\sigma\tau}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}\Gamma^{\beta}_{\tau\alpha}\right]=0 \quad...(24)</math>}}


가 도출된다. 그러나, 우리는 이 이상의 것을 요구한다:


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2g^{\alpha\beta}}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}} - \sum_{\sigma\tau\alpha\beta}g^{\sigma\tau}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}\Gamma^{\beta}_{\tau\alpha} = 0 \quad...(24a)</math>}}


이 때 <math>(23)</math>은


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\log{\sqrt{-g}}}{\partial x_{\beta}}\right)=-\varkappa\sum_{\sigma}T^{\sigma}_{\sigma} \quad...(23a)</math>}}


가 된다. 방정식 <math>(23a)</math>는 <math>\sqrt{-g}=1</math>이 되도록 좌표계를 선택할 수 없음을 보여주는데, 에너지 텐서의 스칼라는 <math>0</math>이 될 수 없기 때문이다.

방정식 <math>(24a)</math>는 <math>g_{\mu\nu}</math>만으로 이루어진 관계식이다. 원래의 좌표계로부터 금지된 변환을 통해 얻은 새로운 좌표계에서는 성립하지 않을 것이다. 이 방정식은 따라서 다양체에 좌표계가 어떻게 놓여야 하는지를 보여준다.

=== §4. 이론의 물리적 특성에 관한 몇가지 언급. ===
방정식 <math>(24a)</math>의 <math>1</math>차 근사는


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}} = 0</math>}}


이다. 이것은 아직 좌표계를 고정시키지 않는데, 그러려면 <math>4</math>개의 방정식이 필요하기 때문이다. 우리는 따라서 <math>1</math>차 근사에 대하여 임의적으로


{{c|<math>\sum_{\beta}\frac{\partial g^{\alpha\beta}}{\partial x_{\beta}} = 0 \quad...(25)</math>}}


이라 둘 수 있다. 보다 간단하게 만들기 위해 허수 시간을 네번째 변수로 도입하고 싶다. 그러면 장방정식 <math>(18a)</math>는 <math>1</math>차 근사로


{{c|<math>\frac{1}{2}\sum_{\alpha}\frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^{\,2}_{\alpha}} = \varkappa\,T_{\mu\nu} \quad...(18b)</math>}}


의 형태를 갖는다. 이로부터 이것이 <math>1</math>차 근사로 뉴턴 법칙을 포함한다는 것을 즉시 확인할 수 있다.

운동의 상대성이 실제로 새로운 이론에서 보존된다는 것은, 허용되는 변환 중 기존 계에 대한 새로운 계의 (임의로 변하는 각속도의) 회전에 대응하는 것, 그리고 새로운 계의 원점이 기존 계에 대하여 임의적으로 정해진 운동을 수행하는 것 또한 포함되기 때문이다.

실제로, 변환


{{c|<math>\begin{aligned} x' &= \,\,\,\,\,x\,\cos\,\tau + y\,\sin\,\tau \\ y' &= -x\,\sin\,\tau + y\,\cos\,\tau \\ z' &= z \\ t' &= t \end{aligned}</math>}}


그리고


{{c|<math>\begin{aligned} x' &= x - \tau_1 \\ y' &= y - \tau_2 \\ z' &= z - \tau_3 \\ t' &= t \end{aligned}</math>}}


에서 <math>\tau</math>와 <math>\tau_1, \tau_2, \tau_3</math>은 각각 <math>t</math>에 대한 임의의 함수이고 행렬식이 <math>1</math>인 변환이다.

== 보충(11월 11일) ==
{{c|{{xx-larger|'''일반 상대성 이론에 대하여 (보충)'''}}}}
{{c|Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)}}


{{c|'''알베르트 아인슈타인'''<br>
A.Einstein}}


최근 연구<ref>같은 회의 보고서[Sitzungberichte], p.778.(상단 문서)</ref>에서, 우리는 리만의 다차원 다양체에서의 공변 이론이 어떻게 중력장 이론의 기초로 활용될 수 있는지 살펴보았다. 이제, 여기에서는 물질의 구조에 관한 가히 대담한 추가 가설을 도입함으로써 이론에 대한 더욱 간결하고 논리적인 구조가 성취될 수 있음을 보이려고 한다.

그 정당성에 대하여 고려하고자 하는 가설은 다음 주제와 관련있다. "물질"의 에너지 텐서 <math>T^{\lambda}_{\mu}</math>는 스칼라 <math>\sum_{\mu}T^{\mu}_{\mu}</math>를 가지며, 이것이 전자기장에 대하여 사라진다는 것은 잘 알려져 있다. 반면, 일반적인 물질에 대해서는 <math>0</math>이 아닌 것으로 보인다. 왜냐하면, 가장 단순한 특수 사례, (압력을 무시한) "비이성적인" 연속 유체를 살펴보면 우리는 흔히


{{c|<math>T^{\mu\nu} = \sqrt{-g}\rho_0\frac{dx_{\mu}}{ds}\frac{dx_{\nu}}{ds}</math>}}


라 쓰며, 또한


{{c|<math>\sum_{\mu}T^{\mu}_{\mu} = \sum_{\mu\nu}g_{\mu\nu}T^{\mu\nu} = \rho_0\sqrt{-g}</math>}}


를 얻는다. 이러한 접근에서 에너지 텐서의 스칼라는 사라지지 않는다.

여기에서, 우리의 지식에 따라 "물질"이 원시적으로 주어지고 물리적으로 단순한 무언가로 이해되어서는 안 된다는 것을 명심해야 한다. 심지어 (적지 않은 수의) 누군가는 물질을 순수히 전기동역학적 과정으로 바꾸기를 희망하는데, 이는 물론 맥스웰의 전기동역학보다 더 완전한 이론에서 이루어져야만 할 것이다. 이제 그러한 완성된 전기동역학에서는 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다고 가정하자! 위에서 보여준 결과는 이 이론에서 물질이 구축될 수 없다는 것을 증명할까? 내 생각에는 이 질문에 아니라고 답할 수 있을 것 같다. 왜냐하면 기존 표현이 말하는 "물질"에서, 중력장은 중요한 요소를 차지하기 때문이다. 이 경우, <math>T^{\mu}_{\mu}</math>는 전체 구조에 대하여 양수로 나타날 수 있지만 실제로는 <math>(T^{\mu}_{\mu} + t^{\mu}_{\mu})</math>만이 양수이고 <math>T^{\mu}_{\mu}</math>는 모든 곳에서 사라지게 되는 것이다. 앞으로, 우리는 조건 <math>\sum T^{\mu}_{\mu} = 0</math>이 실제로 일반적으로 참이라고 가정할 것이다.

중력장이 물질의 "핵심적인" 부분을 차지하는 것을 단정적으로 거부하는 사람이 아닌 한, 이 개념에 관한 강력한 증거를 다음에서 확인할 수 있을 것이다.<ref>이 논문을 쓸 때 나는 아직 가설 <math>\sum T^{\mu}_{\mu}=0</math>이 원론적으로 가능하다는 것을 알지 못했다.</ref>

=== 장방정식의 유도. ===
우리의 가설은 일반 상대성이라는 아이디어로 향하는 마지막 발걸음이 바람직하도록 해준다. 즉, 중력장 방정식을 "일반" 공변적인 형태로 쓸 수 있게 해준다. 나는 이전 논문에서 (식 <math>(14)</math>)


{{c|<math>G_{im} = \sum_l\left\{il, lm\right\} = R_{im} + S_{im} \quad...(14)</math>}}


이 공변 텐서임을 보였다. 그리고


{{c|<math>\begin{aligned} R_{im} &= -\sum_l\frac{\displaystyle \partial\left\{{im\atop l}\right\}}{\partial x_l} + \sum_{\rho l}\left\{{il\atop \rho}\right\}\left\{{\rho m\atop l}\right\} \quad...(14a) \\ \\ S_{im} &= \sum_l\frac{\displaystyle \partial\left\{{il\atop l}\right\}}{\partial x_m} - \sum_{\rho l}\left\{{im\atop \rho}\right\}\left\{{\rho l\atop l}\right\} \quad...(14b) \end{aligned}</math>}}


를 얻었다. 이 텐서 <math>G_{im}</math>은 중력의 일반 공변 방정식을 구축하는 데 사용될 수 있는 유일한 텐서이다.

우리는, 중력장 방정식이


{{c|<math>G_{\mu\nu} = -\varkappa\,T_{\mu\nu} \quad...(18b)</math>}}


가 되어야 한다는 것에 동의함으로써 일반 공변적인 중력장 방정식을 얻게 된다. 이는 절대 미분학이 제공하는 "물질" 과정에 대한 일반 공변적인 법칙과 함께 자연의 인과관계를, 이들 법칙을 구성하는 데 있어서 (논리적으로 자연 법칙과 아무런 관계가 없는) 좌표계의 어떠한 특별한 선택도 사용되지 않았다는 점을 강조하는 방식으로 표현한다.

이 체계를 바탕으로 (좌표계를 후향적으로 선택함으로써) 내가 최근 논문에서 구축한 법칙들로 돌아올 수 있으며, 이들 법칙은 실질적으로 아무런 변화도 없다. 왜냐하면, 우리는 명백히


{{c|<math>\sqrt{-g} = 1</math>}}


이 모든 곳에서 성립하도록 하는 새로운 좌표계를 도입할 수 있기 때문이다. 그러면 <math>S_{im}</math>은 사라지며 최근 논문의 장방정식


{{c|<math>R_{\mu\nu} = -\varkappa\,T_{\mu\nu}\quad...(18)</math>}}


로 돌아온다. 절대 미분학의 공식들은 언급된 논문에서 보여준 방식 그대로 바뀌며, 우리의 좌표계 선택은 여전히 오로지 행렬식이 <math>1</math>인 변환만을 허용한다.

일반 공변성으로부터 유도된 장방정식과 최근 논문의 것 사이의 유일한 내용적 차이는 <math>\sqrt{-g}</math>의 값이 후자에서는 미리 정해질 수 없다는 것이다. 이 값은 그보다는 다음 방정식


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\log{\sqrt{-g}}}{\partial x_{\beta}}\right)=-\varkappa\sum_{\sigma}T^{\sigma}_{\sigma} \quad...(23a)</math>}}


에 의해 결정되었다. 이 방정식은 여기에서 <math>\sqrt{-g}</math>가 오로지 에너지 텐서의 스칼라가 사라질 때에만 상수가 될 수 있음을 보여준다.

우리의 현 유도 과정에서는 좌표계를 임의적으로 선택할 수 있기 때문에 <math>\sqrt{-g}=1</math>이다. "물질" 에너지 텐서의 스칼라가 사라지는 것은 이제 식 <math>(23a)</math>가 아닌 우리의 장방정식의 결과가 된다. 우리의 출발점을 구성하는 일반 공변 장방정식 <math>(18b)</math>는, 도입부에서 설명했던 가설이 적용되었을 때에만 모순에 다다르지 않는다. 그러나, 그럴 경우 우리의 기존 장방정식에 다음의 제한 조건을 추가할 수 있다.


{{c|<math>\sqrt{-g} = 1 \quad...(23b)</math>}}


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== 각주 ==
{{각주}}

== 라이선스 ==
{{번역 저작권
| 원문 = {{PD-old-70}}
| 번역 = {{GFDL/CC-BY-SA-4.0}}
}}