번역:중력파에 대하여 문서 원본 보기

{{번역 머리말
| 제목 = 중력파에 대하여
| 다른 표기 = Über Gravitationswellen
| 부제 = Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1918) : 154-167
| 부제 다른 표기 =
| 저자 = [[w:알베르트 아인슈타인|알베르트 아인슈타인]](Albert Einstein)
| 역자 = 
| 이전 = 
| 다음 = 
| 연도 = 
| 언어 = 
| 원본 = 
| portal = 상대성 이론
| 설명 = 독일어 원문: "Über Gravitationswellen", ''Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften'' (1918): 154-167., [https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-doc/60 Online]. 

전체적으로 Princeton 대학의 CPAE(The Collected Papers of Albert Einstein) Vol.7, Doc.1의 영문 번역[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-trans/25] 및 첨삭 [https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-doc/74#,]을 따랐으나, 불필요하게 변형된 수식 표현/문장 및 어색한 표현은 독일어 원문을 존중함.

첫번째 중력파 논문의 오류 수정(e.g. 구형 대칭 중력장은 전파되지 않음), 사실상 첫 완성적인 중력파 논문.}}

{{c|{{xx-larger|'''중력파에 대하여'''}}}}
{{c|Über Gravitationswellen}}


{{c|'''알베르트 아인슈타인'''<br>
A.Einstein}}


{{c|(1918년 1월 31일 제출 [S. 79 참고])}}


나는 1년 반 전 한 학술 논문에서 중력파가 어떻게 진행하는지에 관한 중요한 질문에 대하여 다룬 바 있다.<ref>같은 Sitzungsber. (1916), pp.688 ff. ([[중력장 방정식의 근사적 적분법|위키문헌]])</ref> 그러나, 내 기존 방식이 충분히 명료하지 않았고 또한, 계산 상의 유감스러운 오류로 인해 왜곡되어버린 관계로 불가피하게 이 주제로 다시 돌아온다.

이전과 같이, 나는 고려하는 시공간 연속체가 "갈릴레이" 시공간으로부터 매우 작은 정도만 벗어난다고 제한을 둘 것이다. 모든 첨수에 대하여


{{수학형식2|<math>(1)</math>|<math>g_{\mu\nu} = -\delta_{\mu\nu} + \gamma_{\mu\nu}</math>}}


와 같이 쓸 수 있도록, 특수 상대성 이론에서 보편화되어있듯이 시간 변수를 순허수로 선택한다. 즉,


{{c|<math>x_4 = it</math>}}


라 둔다. 여기에서 <math>t</math>는 "빛 시간"을 나타낸다. <math>(1)</math>에서 <math>\mu = \nu</math> 또는 <math>\mu \neq \nu</math>에 따라서 각각 <math>\delta_{\mu\nu} = 1</math> 또는 <math>\delta_{\mu\nu} = 0</math>이다. <math>\gamma_{\mu\nu}</math>는 <math>1</math>과 비교해 작은 양이며, 중력장이 없는 연속체로부터의 편차를 나타낸다. 로런츠 변환 하에, 이들은 랭크 <math>2</math>의 텐서를 형성한다.

=== §1. 지연 퍼텐셜을 이용한 근사적 중력장 방정식의 해 ===
임의의 좌표계에서 유효한 장방정식


{{수학형식2|<math>(2)</math>|<math>-\sum_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left\{{\mu\nu\atop \alpha}\right\} + \sum_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\left\{{\mu\alpha\atop \alpha}\right\} + \sum_{\alpha\beta}\left\{{\mu\alpha\atop \beta}\right\}\left\{{\nu\beta\atop \alpha}\right\} - \sum_{\alpha\beta}\left\{{\mu\nu\atop \alpha}\right\}\left\{{\alpha\beta\atop \beta}\right\} = -\varkappa\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)</math>}}


으로부터 시작한다.<ref>여기에서는 "<math>\lambda</math>-항"을 도입하지 않는다.(Sitzungsber. [1917], p. 142 참고. ([[일반 상대성 이론에 대한 우주론적 고찰|위키문헌]]))</ref> <math>T_{\mu\nu}</math>는 물질의 에너지 텐서이고 <math>T</math>는 관련 스칼라 <math>\sum_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta}T_{\alpha\beta}</math>이다. 만약 <math>\gamma_{\mu\nu}</math>의 <math>n</math>차항을 모두 <math>n</math>차 범위의 작은 양으로 간주하고, 동시에 방정식 <math>(2)</math>의 양변에서 가장 낮은 차수의 항으로 계산을 한정할 경우 근사적 방정식


{{수학형식2|<math>(2a)</math>|<math>\sum_{\alpha}\left(\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}^2} + \frac{\partial^2 \gamma_{\alpha\alpha}}{\partial x_{\mu}\partial x_{\nu}} - \frac{\partial^2 \gamma_{\mu\alpha}}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}} - \frac{\partial^2 \gamma_{\nu\alpha}}{\partial x_{\mu}\partial x_{\alpha}}\right) = 2\varkappa\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha}T_{\alpha\alpha}\right)</math>}}


을 얻는다. 이 방정식에 <math>-\frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}</math>를 곱하고 <math>\mu, \nu</math>에 대하여 더하면, 다음으로 (첨수를 바꿔서) 스칼라 방정식


{{c|<math>\sum_{\alpha\beta}\left(-\frac{\partial^2 \gamma_{\alpha\alpha}}{\partial x_{\beta}^2} + \frac{\partial^2 \gamma_{\alpha\beta}}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}}\right) = \varkappa\sum_{\alpha}T_{\alpha\alpha}</math>}}


을 얻는다. 만약 이 방정식에 <math>\delta_{\mu\nu}</math>를 곱하고 방정식 <math>(2a)</math>에 더하면, <math>(2a)</math>의 우변에서 두번째 항은 상쇄된다. 좌변의 경우 <math>\gamma_{\mu\nu}</math> 대신 함수


{{수학형식2|<math>(3)</math>|<math>\gamma\,_{\mu\nu}' = \gamma_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha}\gamma_{\alpha\alpha}</math>}}


를 도입하면 더욱 완전하게 적을 수 있다. 그러면 방정식은 다음 형태를 갖는다:


{{수학형식2|<math>(4)</math>|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial^2\gamma\,_{\mu\nu}'}{\partial x_{\alpha}^2} - \sum_{\alpha}\frac{\partial^2 \gamma\,_{\mu\alpha}'}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}} - \sum_{\alpha}\frac{\partial^2 \gamma\,_{\nu\alpha}'}{\partial x_{\mu}\partial x_{\alpha}} + \delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\alpha}\partial x_{\beta}} = 2\varkappa\,T_{\mu\nu}</math>}}


그런데, 이 방정식은 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>가 방정식 <math>(4)</math> 뿐만 아니라 관계


{{수학형식2|<math>(5)</math>|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial \gamma\,_{\mu\alpha}'}{\partial x_{\alpha}} = 0</math>}}


까지 만족시킨다고 요구한다면 상당 수준 간단하게 만들 수 있다.

얼핏 보기에는 <math>10</math>개의 함수 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>에 대한 <math>10</math>개의 방정식 <math>(4)</math>가 추가적인 <math>4</math>개의 임의적 조건을 과조건 없이 허용한다는 것에 의문을 품을 수 있다. 그러나 이 과정의 정당화는 다음으로부터 찾을 수 있다. 방정식 <math>(2)</math>는 임의의 변환에 대하여 공변적이다. 즉, 임의로 선택된 좌표계에서 만족된다. 새로운 좌표계를 도입하면, 새로운 계에서의 <math>g_{\mu\nu}</math>는 좌표의 변환을 정의하는 <math>4</math>개의 임의적인 함수에 의존한다. 이 <math>4</math>개의 방정식은 이제 <math>g_{\mu\nu}</math>가 새로운 계에서 <math>4</math>개의 임의적으로 주어진 관계를 만족시키도록 선택될 수 있다. 우리가 원하는 근사 하에 이것이 방정식 <math>(5)</math>로 변환된다고 보자. 후자의 방정식은, 따라서, 좌표계를 선택해야 하는 근거를 제공하는 조건을 나타낸다. <math>(5)</math>로부터, <math>(4)</math> 대신 간단한 방정식


{{수학형식2|<math>(6)</math>|<math>\sum_{\alpha}\frac{\partial^2\gamma\,_{\mu\nu}'}{\partial x_{\alpha}^2} = 2\varkappa \,T_{\mu\nu}</math>}}


을 얻는다.

<math>(6)</math>에 의해, 중력장은 광속으로 진행한다. <math>T_{\mu\nu}</math>가 주어지면, <math>\gamma_{\mu\nu}</math>는 그로부터 지연 퍼텐셜의 방식으로 계산할 수 있다. 만약 <math>x, y, z, t</math>가 고려하는 점, 즉 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>가 계산되는 점의 실숫값 좌표 <math>x_1, x_2, x_3, \frac{x_4}{i}</math>를 나타내고, <math>x_0, y_0, z_0</math>이 부피소 <math>dV_0</math>의 공간 좌표를, <math>r</math>이 고려하는 점과 후자 간의 공간 상 거리를 나타낸다면


{{수학형식2|<math>(7)</math>|<math>\gamma\,_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi}\int\frac{T_{\mu\nu}(x_0, y_0, z_0, t-r)}{r}dV_0</math>}}


을 얻는다.

===§2. 중력장의 에너지 성분 ===
얼마 전<ref>Ann. d. Phys. 49 (1916), eq.(50). ([[일반 상대성 이론의 기초|위키문헌]])</ref> 나는 조건


{{c|<math>g = |g_{\mu\nu}| = 1</math>}}


을 만족시키는 좌표계를 선택한 경우에 대한 중력장의 에너지 성분을 직접적으로 제시하였다. 이 조건은 여기에서 고려하는 근사에 대하여


{{c|<math>\gamma = \sum_{\alpha}\gamma_{\alpha\alpha} = 0</math>}}


과 동치이다. 그러나, 이것은 일반적으로 현재 우리의 좌표계 선택에서는 만족되지 않는다. 따라서, 에너지 성분을 얻는 가장 간단한 방법은 다음의 분리된 고려사항을 따른다.

그러나, 우리는 다음의 어려움들을 고려해야 한다. 우리의 장방정식 <math>(6)</math>은 오로지 <math>1</math>차항까지만 성립하는 반면, 에너지 방정식은 (쉽게 알 수 있듯) <math>2</math>차항 범위이다. 하지만 우리는 다음 고려로 쉽게 목표에 도달할 수 있다. 물질의 에너지 성분 <math>\mathfrak{T}^{\sigma}_{\mu}</math>과 중력장의 에너지 성분 <math>\mathfrak{t}^{\sigma}_{\mu}</math>는 일반 이론에 따라, 다음 관계를 만족시킨다.


{{c|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{T}^{\sigma}_{\mu}}{\partial x_{\sigma}} + \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}\mathfrak{T}_{\rho\sigma} = 0,</math>}}

{{c|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial(\mathfrak{T}^{\sigma}_{\mu} + \mathfrak{t}^{\sigma}_{\mu})}{\partial x_{\sigma}} = 0</math>}}


이로부터


{{c|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{t}^{\sigma}_{\mu}}{\partial x_{\sigma}} = \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}\mathfrak{T}_{\rho\sigma}</math>}}


를 얻는다. 장방정식으로부터 <math>\mathfrak{T}_{\rho\sigma}</math>를 취하여 우변을 좌변의 형태로 바꾸면 <math>\mathfrak{t}^{\sigma}_{\mu}</math>를 찾게 될 것이다. 여기에서 고려하는 근사의 경우, 이 방정식의 우변에 있는 두 인수는 <math>1</math>차 범위의 작은 양이다. <math>\mathfrak{t}^{\sigma}_{\mu}</math>를 <math>2</math>차 항의 양으로 정확하게 구하려면, 우변의 두 인수를 <math>1</math>차항의 양으로 정확히 대체하면 된다. 따라서,


{{c|<math>\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}</math>를 <math>-\frac{\partial \gamma_{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}</math>로,}}

{{c|그리고 <math>\mathfrak{T}_{\rho\sigma}</math>를 <math>T_{\rho\sigma}</math>로}}


대체할 수 있다. <math>t^{\sigma}_{\rho}</math>는 원하는 근사에서 부호만 다른 <math>t_{\rho\sigma}</math>를 도입한다. 이 첨수들의 특성으로 인해, <math>t_{\rho\sigma}</math>는 <math>T_{\rho\sigma}</math>와 유사한 양이다. 우리는 <math>t_{\rho\sigma}</math>를 방정식


{{수학형식2|<math>(8)</math>|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial t_{\mu\sigma}}{\partial x_{\sigma}} = \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial \gamma_{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}T_{\rho\sigma}</math>}}


로부터 결정해야 한다. 우변의 경우 <math>(3)</math>에 따라


{{수학형식2|<math>(3a)</math>|<math>\gamma_{\mu\nu} = \gamma\,_{\mu\nu}' - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha}\gamma\,_{\alpha\alpha}' = \gamma\,_{\mu\nu}' - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\gamma'</math>}}


이라 두어야 한다는 것을 관찰하고, 또한 <math>T_{\rho\sigma}</math>를 <math>(6)</math>의 도움으로 <math>\gamma\,_{\rho\sigma}'</math>를 이용해 표현하여 변형한다. 간단한 재배열을 거쳐,<ref>(처음에 언급된) 내 기존 논문의 오류는 <math>(8)</math>의 우변에서 <math>\frac{\partial \gamma_{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}</math> 대신 <math>\frac{\partial \gamma\,_{\rho\sigma}'}{\partial x_{\mu}}</math>를 사용한 것이다. 이 오류는 한편으로 이 논문의 §2와 §3을 다시 작성하도록 강제한다.</ref>


{{c|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial t_{\mu\sigma}}{\partial x_{\sigma}} = \sum_{\sigma}\frac{\partial}{\partial x_{\sigma}}\left[\frac{1}{4\varkappa}\left(\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\sigma}}\right) - \frac{1}{2}\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\sigma}}\right) - \frac{1}{8\varkappa}\delta_{\mu\sigma}\left(\sum_{\alpha\beta\lambda}\left(\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\lambda}}\right)^2 - \frac{1}{2}\sum_{\lambda}\left(\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\lambda}}\right)^2\right)\right]</math>}}


을 얻는다. 이로부터, 우리가


{{수학형식2|<math>(9)</math>|<math>4\varkappa t_{\mu\sigma} = \left(\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\sigma}}\right) - \frac{1}{2}\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\sigma}}\right) - \frac{1}{2}\delta_{\mu\sigma}\left(\sum_{\alpha\beta\lambda}\left(\frac{\partial \gamma\,_{\alpha\beta}'}{\partial x_{\lambda}}\right)^2 - \frac{1}{2}\sum_{\lambda}\left(\frac{\partial \gamma\,'}{\partial x_{\lambda}}\right)^2\right)</math>}}


라 두면 에너지 정리를 만족시킬 수 있게 된다. <math>t_{\mu\sigma}</math>의 물리적 의미를 파악하는 가장 쉬운 방법은 다음 고려로부터 비롯된다. <math>t_{\mu\sigma}</math>는 중력장에 대응되는, 물질의 <math>T_{\rho\sigma}</math>이다. 그런데 일관성이 없는 질량 물질은 <math>1</math>차항의 범위에서


{{수학형식2|<math>(10)</math>|<math>T_{\mu\sigma} = T^{\mu\sigma} = \rho\frac{dx_{\mu}}{ds}\frac{dx_{\sigma}}{ds} \quad \left(ds^2 = -\sum_{\nu}dx_{\nu}^2\right)</math>}}


가 성립하고, 이 때 <math>\rho</math>는 물질 밀도의 스칼라이다. <math>T_{11}, T_{22}, T_{33}</math>은, 따라서 압력 성분을 나타낸다. <math>T_{14}, T_{24}, T_{34}</math> 또는 <math>T_{41}, T_{42}, T_{43}</math> 각각은 운동량 밀도 벡터에 <math>\sqrt{-1}</math>을 곱한 것이다. <math>t_{\mu\sigma}</math>의 중력장에 관련한 해석은 이와 유사하게 유도된다.

한가지 예시로, 우리는 다음으로 정지해 있는 질점 <math>M</math>의 중력장을 다뤄본다. <math>(7)</math>과 <math>(10)</math>으로부터 즉시


{{수학형식2|<math>(11)</math>|<math>\gamma\,_{44}' = \frac{\varkappa}{2\pi}\frac{M}{r}</math>}}



을 얻는다. 이 때 나머지 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>는 모두 사라진다. <math>(11), (3a), (1)</math>에 따라, <math>g_{\mu\nu}</math>에 대하여 드 지터[De Sitter]가 처음으로 제시한 다음 값을 얻게 된다.


{{수학형식2|<math>(11a)</math>|<math>\left.\begin{array} {cccc} \displaystyle -1-\frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 0 & \displaystyle -1-\frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r} & 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 & \displaystyle -1-\frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r} & 0 \\ \\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle -1+\frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r} \end{array} \right\}</math>}}


빛의 속력 <math>c</math>는 일반적으로 다음 방정식


{{c|<math>0 = ds^2 = \sum_{\mu\nu}g_{\mu\nu}dx_{\mu}dx_{\nu}</math>}}


로 주어지고, 여기에서 다음 관계


{{c|<math>\left(1 + \frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r}\right)(ds^2 + dy^2 + dz^2) - \left(1 - \frac{\varkappa}{4\pi}\frac{M}{r}\right)dt^2 = 0</math>}}


으로부터 유도된다. 따라서, 우리가 선호하는 좌표계 선택에 대하여 빛의 속력


{{수학형식2|<math>(12)</math>|<math>c = \sqrt{\frac{ds^2 + dy^2 + dz^2}{dt^2}} = 1 - \frac{\varkappa M}{4\pi r}</math>}}


은 위치에 의존하나, 방향에는 의존하지 않는다. 또한 <math>(11a)</math>로부터 작은 강체는 위치 변화에 대하여 상태를 유지하는 반면, 길이는 <math>\left(1-\frac{\varkappa M}{4\pi r}\right)</math>에 따라 변한다.

우리의 경우, 방정식 <math>(9)</math>는 <math>t_{\mu\sigma}</math>에 대하여


{{수학형식2|<math>(13)</math>|<math>\left.\begin{array} {l} \displaystyle t_{\mu\sigma} = \frac{\varkappa M^2}{32\pi^2}\left(\frac{x_{\mu}x_{\sigma}}{r^6} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\sigma}\frac{1}{r^4}\right) \quad (\mu, \sigma = 1, 2, 3) \\ \\ t_{14} = t_{24} = t_{34} = 0 \\ \\ \displaystyle t_{44} = -\frac{\varkappa M^2}{64\pi^2}\cdot\frac{1}{r^4}\end{array}\right\}</math>}}


의 값을 준다.

<math>t_{\mu\sigma}</math>의 값은 전적으로 좌표의 선택에 의존하며, 이 사실은 G. 노르드스트룀[G. Nordström] 씨가 이미 얼마 전 편지로 지적해주었다.<ref>E. Schrödinger, Phys. Zeitschr. 1 (1918), p.4도 참고한다.</ref> 좌표계의 선택이 조건 <math>\sqrt{g}=1</math>로 이루어질 경우, 즉 내가 기존에 질점에 대하여 <math>g_{\mu\nu}</math>를


{{c|<math>\begin{aligned} \displaystyle &g_{\mu\sigma} = -\delta_{\mu\sigma} - \frac{\varkappa M}{4\pi}\frac{x_{\mu}x_{\sigma}}{r^3} \quad (\mu, \sigma = 1, 2, 3) \\ \\ &g_{14} = g_{24} = g_{34} = 0 \\ \\ \displaystyle &g_{44} = 1 - \frac{\varkappa M}{4\pi}\cdot\frac{1}{r}\end{aligned}</math>}}



라 표현했던 그 경우에는 이들을 <math>2</math>차항의 범위에서 정확하게 다음 공식


{{c|<math>\varkappa\,t^{\alpha}_{\sigma} = \frac{1}{2}\delta^{\alpha}_{\sigma}\sum_{\mu\nu\lambda\beta}g^{\mu\nu}\left\{{\mu\lambda\atop \beta}\right\}\left\{{\nu\beta\atop \lambda}\right\} - \sum_{\mu\nu\lambda}g^{\mu\nu}\left\{{\mu\lambda\atop \alpha}\right\}\left\{{\nu\sigma\atop \lambda}\right\}</math>}}


을 통해 계산했을 때 중력장의 모든 에너지 성분이 사라진다.

적당히 좌표계를 선택하면, 언제나 중력장의 모든 에너지 성분을 사라지게 할 수 있겠다고 생각할 수 있다. 그렇다면 꽤 주목할 만한 일일 것이다. 하지만 이것은 일반적으로 사실이 아니란 것을 쉽게 보일 수 있다.

=== §3. 평면 중력파 ===
평면 중력파를 찾으려면, 다음과 같이 (장방정식 <math>(6)</math>을 만족시키는) 가정된 해


{{수학형식2|<math>(14)</math>|<math>\gamma\,_{\mu\nu}' = \alpha_{\mu\nu}\,f(x_1+ix_4)</math>}}


에서 시작한다. 여기에서 <math>\alpha_{\mu\nu}</math>는 실숫값 상수이고, <math>f</math>는 <math>(x_1+ix_4)</math>의 실숫값 함수이다. 방정식 <math>(5)</math>는 관계식


{{수학형식2|<math>(15)</math>|<math>\left.\begin{array} {c} \alpha_{11} + i\alpha_{14} = 0 \\ \alpha_{21} + i\alpha_{24} = 0 \\ \alpha_{31} + i\alpha_{34} = 0 \\ \alpha_{41} + i\alpha_{44} = 0 \end{array}\right\}</math>}}


을 도출한다. 조건 <math>(15)</math>가 만나면, <math>(14)</math>는 가능한 중력파를 나타낸다. 그것의 물리적 본성에 대해 더 잘 이해하기 위해 그 에너지 흐름 밀도 <math>\frac{t_{41}}{i}</math>를 계산해보자. <math>(15)</math>에서 주어진 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>를 방정식 <math>(9)</math>에 대입하면,


{{수학형식2|<math>(16)</math>|<math>\frac{t_{41}}{i} = \frac{1}{2\varkappa}f'^{\,2}\left[\left(\frac{\alpha_{22} - \alpha_{33}}{2}\right)^2 + \alpha_{23}^{\,\,\,2}\right]</math>}}


을 얻는다.

이 결과는 <math>(15)</math>가 사용되었을 때 <math>(14)</math>에서 도출되는 <math>6</math>개의 임의적인 상수 중, <math>(16)</math>에서는 오직 두 개만이 남는다는 점에서 의아하게 느껴질 수 있다. <math>\alpha_{22} - \alpha_{33}</math>과 <math>\alpha_{23}</math>이 사라지는 파동은 에너지를 전달하지 않는다. 이 현상은 이러한 에너지가, 어떤 면에서는 아무런 실체를 갖고 있지 않다는 사실로부터 추론할 수 있는데, 이는 다음과 같은 고려로부터 가장 간단한 방법으로 유도될 수 있다.

먼저, <math>(15)</math>에 대하여, 에너지가 없는 파동의 계수 <math>\alpha_{\mu\nu}</math>의 도표가


{{수학형식2|<math>(17)</math>|<math>(\alpha_{\mu\nu} =) \quad \left.\begin{array} {cccc} \displaystyle \alpha & \beta & \gamma & i\alpha \\ \beta & \delta & 0 & i\beta \\ \gamma & 0 & \delta & i\gamma \\ i\alpha & i\beta & i\gamma & -\alpha \end{array} \right\}</math>}}


라는 것에 주목한다. 여기에서 <math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math>는 서로 독립적인 선택가능한 숫자들이다.

다음으로, 적당히 선택된 좌표 <math>(x_1', x_2', x_3', x_4')</math>에서 선소 <math>ds</math>가


{{수학형식2|<math>(18)</math>|<math>-ds^2 = dx_1'^{\,2} + dx_2'^{\,2} + dx_3'^{\,2} + dx_4'^{\,2}</math>}}


의 형태로 표현될 수 있는, 중력장이 없는 공간을 살펴보자. 이제, 새로운 좌표 <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math>를 도입하여


{{수학형식2|<math>(19)</math>|<math>x_{\nu}' = x_{\nu} - \lambda_{\nu}\phi(x_1 + ix_4)</math>}}


와 같이 대체한다. <math>4</math>개의 <math>\lambda_{\nu}</math>는 실숫값의, 무한히 작은 상수이며 <math>\phi</math>는 독립변수 <math>(x_1 + ix_4)</math>에 대한 실숫값 함수이다. <math>\lambda_{\nu}</math>의 <math>2</math>차 범위 양들을 무시할 경우, <math>(18)</math>과 <math>(19)</math>로부터


{{c|<math>ds^2 = -\sum_{\nu}dx_{\nu}'^{\,2} = -\sum_{\nu}dx_{\nu}^{\,2} + 2\phi'(dx_1 + idx_4)\sum_{\nu}\lambda_{\nu}dx_{\nu}</math>}}


를 얻는다. 이로부터, 연관된 <math>\gamma_{\mu\nu}</math>가 다음 값들을 갖게 된다.


{{c|<math>\left(\frac{1}{\phi'}\gamma_{\mu\nu} =\right) \quad \begin{array} {cccc} \displaystyle 2\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & i\lambda_1 + \lambda_4 \\ \\ \lambda_2 & 0 & 0 & i\lambda_2 \\ \\ \lambda_3 & 0 & 0 & i\lambda_3 \\ \\ i\lambda_1 + \lambda_4 & i\lambda_2 & i\lambda_3 & 2i\lambda_4 \end{array}</math>}}


또한 이로부터 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>는 다음과 같다.


{{수학형식2|<math>(20)</math>|<math>\left(\frac{1}{\phi'}\gamma\,_{\mu\nu}' =\right) \quad \left.\begin{array} {cccc} \displaystyle \lambda_1 - i\lambda_4 & \lambda_2 & \lambda_3 & i\lambda_1 + \lambda_4 \\ \\ \lambda_2 & -\lambda_1 - i\lambda_4 & 0 & i\lambda_2 \\ \\ \lambda_3 & 0 & -\lambda_1-i\lambda_4 & i\lambda_3 \\ \\ i\lambda_1 + \lambda_4 & i\lambda_2 & i\lambda_3 & -\lambda_1 + i\lambda_4 \end{array}\right\}</math>}}


더 나아가 <math>(19)</math>의 함수 <math>\phi</math>와 <math>(14)</math>의 함수 <math>f</math> 사이의 관계를 다음 관계


{{수학형식2|<math>(21)</math>|<math>\phi' = f</math>}}


로 고정하면, 상수들의 이름을 제외하고는 <math>(20)</math>의 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>와, <math>(14)</math> 및 <math>(17)</math>의 <math>\gamma\,_{\mu\nu}'</math>이 서로 완벽히 일치하는 것을 확인할 수 있다.

에너지를 전달하지 않는 이들 중력파는 따라서 중력장이 없는 계에서 단순히 좌표 변환을 통해 만들어진 것이다. 이들의 존재는 (이러한 관점에서) 오로지 겉보기 현상에 불과한 것이다. 이러한 관점에서 실재하는 것은, <math>x</math>축을 따라 진행하는 파동으로써 그 진행이 <math>\frac{(\gamma\,_{22}' - \gamma\,_{33}')}{2}</math>과 <math>\gamma\,_{23}'</math> (혹은 각각 <math>\frac{(\gamma_{22} - \gamma_{33})}{2}</math>과 <math>\gamma_{23}</math>)에 대응하는 것들 뿐이다. 이 두 유형은 본질적으로 동일하며 방향만 서로 다르다. 파동장은 진행 방향에 수직인 평면에서 각도를 왜곡시키는 방식으로 작용한다. 에너지 흐름 밀도, 운동량, 에너지는 <math>(16)</math>으로 주어진다.

=== §4. 역학적 계에 의한 중력파의 방출 ===
고립된 역학적 계를 고려하여, 그 중력 중심이 영구적으로 좌표계 원점과 일치한다고 하자. 이 계의 변화는 매우 느리게 이루어지고, 공간적 범위는 매우 작아서 내부의 임의의 두 질점 사이의 거리에 대응하는 빛-시간[Lichtzeit; Light-time]이 무한히 짧다고 가정할 수 있다고 하자. 이제, 이 계에서 (좌표계의) 양의 <math>x</math>축 방향으로 방출되는 중력파를 살펴보자.

마지막에 언급된 제한 조건은 고려하는 점과 원점 사이의 거리 <math>R</math>이 충분히 멀 때, <math>(7)</math>을 방정식


{{수학형식2|<math>(7a)</math>|<math>\gamma\,_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi R}\int T_{\mu\nu}(x_0, y_0, z_0, t-R)dV_0</math>}}


으로 대체할 수 있음을 시사한다. 우리는 논의를 에너지를 전달하는 파동으로 국한시킬 수 있다. 그러면 §3의 결과로, <math>\gamma\,_{23}'</math> 성분과 <math>\frac{(\gamma\,_{22}' - \gamma\,_{33}')}{2}</math> 성분만 구하면 된다. <math>(7a)</math>의 우변에 있는 공간 상 적분은 M. 라우에[M. Laue]가 고안한 방식으로 다시 쓸 수 있다. 우리는 적분


{{c|<math>\int T_{23}dV_0</math>}}


에 대해서만 자세한 계산을 원한다. 두 운동량 방정식


{{c|<math>\frac{\partial T_{21}}{\partial x_1} + \frac{\partial T_{22}}{\partial x_2} + \frac{\partial T_{23}}{\partial x_3} + \frac{\partial T_{24}}{\partial x_4} = 0</math>}}

{{c|<math>\frac{\partial T_{31}}{\partial x_1} + \frac{\partial T_{32}}{\partial x_2} + \frac{\partial T_{33}}{\partial x_3} + \frac{\partial T_{34}}{\partial x_4} = 0</math>}}


에 각각 <math>\frac{x_3}{2}</math>과 <math>\frac{x_2}{2}</math>를 곱한 다음, 각각을 전체 역학적 계에 걸쳐 적분한 뒤 둘을 더하면, 간단한 재배열 뒤 부분적분을 거쳐


{{c|<math>-\int T_{23}dV_0 + \frac{1}{2}\frac{d}{dx_4}\left\{\int(x_3T_{24} + x_2T_{34})dV_0\right\} = 0</math>}}


을 얻는다. 후자의 적분을 다시 에너지 방정식


{{c|<math>\frac{\partial T_{41}}{\partial x_1} + \frac{\partial T_{42}}{\partial x_2} + \frac{\partial T_{43}}{\partial x_3} + \frac{\partial T_{44}}{\partial x_4} = 0</math>}}


의 도움으로 변형시키자. 이 방정식에 <math>\frac{x_2x_3}{2}</math>을 곱한 다음 다시 적분하고, 재배열과 부분적분을 거치면


{{c|<math>-\frac{1}{2}\int(x_3T_{42} + x_2T_{43})dV_0 + \frac{1}{2}\frac{d}{dx_4}\left\{\int x_2x_3T_{44}dV_0\right\} = 0</math>}}


그 위 방정식에 이것을 대입하면,


{{c|<math>\int T_{23}dV_0 = \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx_4^{\,\,2}}\left\{\int x_2x_3T_{44}dV_0\right\}</math>}}


을 얻거나, 또는 <math>\frac{d^2}{dx_4^{\,\,2}}</math>은 <math>-\frac{d^2}{dt^2}</math>으로, <math>T_{44}</math>는 물질의 음의 밀도 <math>(-\rho)</math>로 대체해야 하므로


{{수학형식2|<math>(22)</math>|<math>\int T_{23}dV_0 = \frac{1}{2}\ddot{\mathfrak{J}}_{23}</math>}}


을 얻는다. 여기에서,


{{수학형식2|<math>(23)</math>|<math>\mathfrak{J}_{\mu\nu} = \int x_{\mu}x_{\nu}\rho dV_0</math>}}


이라 축약하였다. <math>\mathfrak{J}_{\mu\nu}</math>는 역학적 계의 (시간에 따라 변하는) 관성 모멘트의 성분이다.

동일한 방식으로


{{수학형식2|<math>(24)</math>|<math>\int(T_{22} - T_{33})dV_0 = \frac{1}{2}\left(\ddot{\mathfrak{J}}_{22} - \ddot{\mathfrak{J}}_{33}\right)</math>}}


을 얻는다. <math>(22)</math>와 <math>(24)</math>를 바탕으로, <math>(7a)</math>로부터


{{수학형식2|<math>(25)</math>|<math>\gamma\,_{23}' = -\frac{\varkappa}{4\pi R}\ddot{\mathfrak{J}}_{23}</math>}}

{{수학형식2|<math>(26)</math>|<math>\frac{\gamma\,_{22}' - \gamma\,_{33}'}{2} = -\frac{\varkappa}{4\pi R}\left(\frac{\ddot{\mathfrak{J}}_{22} - \ddot{\mathfrak{J}}_{33}}{2}\right)</math>}}


을 얻는다.

<math>(7a), (22), (24)</math>에 따라서 <math>\mathfrak{J}_{\mu\nu}</math>는 시간 <math>t-R</math>에서의 것으로, 즉 <math>t-R</math>의 함수로 보아야 한다. 혹은 <math>x</math>축에 인접한 매우 큰 <math>R</math>에 대하여 <math>t-x</math>의 함수로도 볼 수 있다. 따라서, <math>(25), (26)</math>은 <math>x</math>축을 따라 측정한 에너지 선속이 <math>(16)</math>에 의해 밀도


{{수학형식2|<math>(27)</math>|<math>\frac{t_{41}}{i} = \frac{\varkappa}{32\pi^2R^2}\left[\left(\frac{\overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{22} - \overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{33}}{2}\right)^2 + \overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{23}^{\,\,\,2}\right]</math>}}


를 갖는 중력파를 나타낸다.  

이번에는, 계에서 발생하는 중력파의 총 복사량에 대해 살펴보자. 이 질문에 답하기 위해서는, 먼저 방향으로 정의된 어떤 코사인 <math>\alpha</math>에 대하여 역학적 계가 방출하는 에너지가 얼마인지 살펴봐야 한다. 이는 변환 혹은, 짧게 말하면 그것을 다음의 형식적인 문제로 바꿔서 찾을 수 있다.

<math>A_{\mu\nu}</math>를 (<math>3</math>차원 상의) 대칭 텐서, <math>\alpha_{\nu}</math>를 벡터라 하자. 스칼라 <math>S</math>를 생각하여, 이것이 <math>A_{\mu\nu}</math>와 <math>\alpha_{\nu}</math>의 함수로써, <math>A_{\mu\nu}</math>가 정수이며 <math>2</math>차항 범위로 동차여서 <math>S</math>가 <math>\alpha_1=1, \,\, \alpha_2=\alpha_3=0</math>일 때 <math>\left(\frac{A_{22} - A_{33}}{2}\right)^2 + A_{23}^2</math>이 되도록 구해보자. 원하는 스칼라는 스칼라 <math>\sum_{\mu}A_{\mu\mu},\,\,\sum_{\mu\nu}A_{\mu\nu}^2,\,\,\sum_{\mu\nu}A_{\mu\nu}\alpha_{\mu}\alpha_{\nu},\,\,\sum_{\mu\sigma\tau}A_{\mu\sigma}A_{\mu\tau}\alpha_{\sigma}\alpha_{\tau}</math>의 함수일 것이다. 마지막 두 스칼라는 <math>\alpha_{\nu} = (1, 0, 0)</math>에 대하여 각각 <math>A_{11}</math>과 <math>\sum_{\mu}A_{1\mu}^2</math>으로 바뀌므로, 약간의 숙고를 거치면, 원하는 스칼라는


{{수학형식2|<math>(28)</math>|<math>S = -\frac{1}{4}\left(\sum_{\mu}A_{\mu\mu}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{\mu}A_{\mu\mu}\sum_{\rho\sigma}A_{\rho\sigma}\alpha_{\rho}\alpha_{\sigma} + \frac{1}{4}\left(\sum_{\rho\sigma}A_{\rho\sigma}\alpha_{\rho}\alpha_{\sigma}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{\mu\nu}A_{\mu\nu}^2 - \sum_{\mu\sigma\tau}A_{\mu\sigma}A_{\mu\tau}\alpha_{\sigma}\alpha_{\tau}</math>}}


임을 알 수 있다. <math>S</math>가 <math>(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)</math>의 "바깥" 방향으로 방사상으로 흘러 나오는 중력 복사의 밀도임은 다음과 같이 두었을 때 분명하다.


{{수학형식2|<math>(29)</math>|<math>A_{\mu\nu} = \frac{\sqrt{\varkappa}}{8\pi R}\overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{\mu\nu}</math>}}


<math>A_{\mu\nu}</math>가 고정되었을 때 공간 상의 모든 방향에 대한 <math>S</math>의 평균값을 구하면, 복사의 평균 밀도 <math>\bar{S}</math>를 얻는다. 마지막으로, <math>\bar{S}</math>에 <math>4\pi R^2</math>을 곱하면 중력파에 의해 역학적 계가 (단위 시간 당) 잃는 에너지를 얻는다. 계산하면 다음과 같다.


{{수학형식2|<math>(30)</math>|<math>4\pi R^2\bar{S} = \frac{\varkappa}{40\pi}\left[\sum_{\mu\nu}\overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{\mu\nu}^2 - \frac{1}{3}\left(\sum_{\mu}\overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathfrak{J}}_{\mu\mu}\right)^2\right]</math>}}


이 결과는, 구형 대칭을 영구히 유지하는 역학적 계는 복사를 방출할 수 없음을 보여준다. 이는 기존 논문의 (계산 오류에 의해 왜곡된) 결과와는 반대이다.

<math>(27)</math>로부터 방출은 어떤 방향으로도 음전될 수 없다. 결과적으로, 총 방출 또한 명백히 음전될 수 없다. 기존 논문에서 이미 강조되었듯이, 이 연구의 마지막 결과(열적 요동에 의한 물체의 에너지 손실을 요구)는 이론의 일반적인 타당성에 의문을 제기한다. 더 완전한 양자 이론이 등장하여 중력 이론을 수정해야 할 것으로 보인다.

=== §5. 역학적 계에 중력파가 미치는 영향 ===
완전성을 위해서, 중력파로부터의 에너지가 역학적 계에 얼마나 흡수될 수 있는지 간단하게 살펴보고 싶다. 다시 §4에서 조사했던 것과 같은 역학적 계가 있다고 하자. 이 계가 계의 규모에 비해 큰 파장을 지닌 중력파의 작용을 받는다고 하자. 계에 흡수되는 에너지를 구하기 위해, 물질의 에너지-운동량 방정식


{{c|<math>\sum_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{T}^{\sigma}_{\mu}}{\partial x_{\sigma}} + \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_{\mu}}\mathfrak{T}_{\rho\sigma} = 0</math>}}


을 살펴본다. 이 방정식을 상수 <math>x_4</math>에서 전체 계에 걸쳐 적분하면 <math>\mu=4</math>에 대하여 (에너지 정리)


{{c|<math>\frac{d}{dx_4}\left\{\int \mathfrak{T}^4_4\,dV\right\} = -\frac{1}{2}\int dV\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_4}\mathfrak{T}_{\rho\sigma}</math>}}


를 얻는다. 좌변의 적분은 전체 물질계의 에너지 <math>E</math>이다. 따라서, 좌변에서 에너지는 시간에 따라 증가하게 된다. 실숫값 시간에 대하여 미분을 수행한 다음 우변을 <math>2</math>차항 범위로 한정하면


{{수학형식2|<math>(31)</math>|<math>\frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}\int dV\sum_{\rho\sigma}\left(\frac{\partial \gamma_{\rho\sigma}}{\partial t}T_{\rho\sigma}\right)</math>}}


를 얻는다. 이제, 중력장을 나타내는 <math>\gamma_{\rho\sigma}</math>를 사건 파동에 대응하는 <math>(\gamma_{\rho\sigma})_w</math>, 그리고 방정식


{{수학형식2|<math>(32)</math>|<math>\gamma_{\rho\sigma} = (\gamma_{\rho\sigma})_w + (\gamma_{\rho\sigma})_v</math>}}


에 따른 나머지 요소 <math>(\gamma_{\rho\sigma})_v</math>로 분리할 수 있다. 이에 따라서, <math>(31)</math>의 우변에 있는 적분은 두 적분의 합으로 나뉘며 첫번째는 파동에서 유래된 에너지 증가를 표현한다. 여기에서는 이것에만 관심을 둔다. 따라서, 복잡한 기호의 부담을 덜기 위하여 앞으로는 <math>(31)</math>에서 <math>\frac{dE}{dt}</math>는 오직 파동에 의한 에너지 증가만을 나타내기로 하고, <math>(\gamma_{\rho\sigma})_w</math> 부분을 단지 <math>\gamma_{\rho\sigma}</math>라 쓴다. 이 <math>\gamma_{\rho\sigma}</math>는 이제 국소적으로 느리게 변하는 함수이며 다음과 같이 쓸 수 있다.


{{수학형식2|<math>(33)</math>|<math>\frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial \gamma_{\rho\sigma}}{\partial t}\cdot\int T_{\rho\sigma}dV</math>}}


작용하는 파동이 에너지를 전달하는 유형의 것이며, 중력장의 성분 중 오직 <math>\gamma_{23}\,(=\gamma\,_{23}')</math>만이 <math>0</math>과 다르다고 하자. <math>(22)</math>에 의해


{{수학형식2|<math>(33)</math>|<math>\frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}\frac{\partial \gamma_{23}}{\partial t}\frac{d^2 \mathfrak{J}_{23}}{dt^2}</math>}}


이다. 주어진 파동 및 주어진 물질 과정에 대하여, 파동으로부터 흡수되는 에너지는 따라서 적분으로 구할 수 있다.

=== §6. 레비치비타[Levi-Civita] 씨의 이의에 대한 답변 ===
레비치비타 씨는 최근 연속적인 흥미로운 연구를 통해, 일반 상대성 이론의 문제들을 명료화하는 데에 기여하였다. 그 논문들 중 하나<ref>Accademia dei Lincei 26 (April 1, 1917)</ref>에서 그는 보존 정리에 대하여 나의 견해와 다른 입장을 취했으며, 그의 해석에 의거하여, 중력파를 통한 에너지 복사에 관한 나의 결론을 부정하였다. 비록 우리 둘은 그 사이에, 편지 교환을 통해, 양쪽이 모두 만족하는 방향으로 문제를 명료화할 수 있었지만, 보존 정리에 대한 몇 가지의 일반적인 언급을 더하는 것이 관심 속 주제에 있어 바람직하다고 느낀다.

일반적으로 인정되는 사실로, 일반 상대성 이론의 기초적인 내용에 따라, 좌표계의 임의적인 선택에 대하여 유효한 <math>4</math>개의 방정식이 존재하여, 다음 형태를 가질 수 있다.


{{수학형식2|<math>(35)</math>|<math>\sum_{\nu}\frac{\partial(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma})}{\partial x_{\nu}} = 0 \quad (\sigma = 1, 2, 3, 4)</math>}}


여기에서 <math>\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}</math>는 물질의 에너지 성분이며, <math>\mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}</math>는 <math>g_{\mu\nu}</math>와 그 일계 미분의 어떤 함수이다. 그런데 <math>\mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}</math>가 중력장의 에너지 성분으로 해석되어야 하는지에 관해서는 의견이 분분하다. 나는 이러한 의견차가 단순한 용어 상의 문제로서는 큰 관계가 없다고 여긴다. 다만, 나는 위에서 제시된 이론의 여지가 없는 방정식이, 보존 정리에 가치를 부여하는 관점을 용이하게 한다고 본다. 나는 이것을 <math>4</math>번째 방정식(<math>\sigma = 4</math>), 내가 그간 에너지 방정식이라 불렀던 것으로 설명하려고 한다.

공간 상에서 한정된 물질계를 놓아 그 밖에서는 물질의 밀도와 전자기장의 세기가 사라진다고 하자. 정지해 있으며 이 계를 뒤덮는 곡면 <math>S</math>를 생각한다. <math>4</math>번째 방정식을 <math>S</math>가 담고 있는 전체 공간에 걸쳐 적분하면 다음을 얻는다:


{{수학형식2|<math>(36)</math>|<math>-\frac{d}{dx_4}\left\{\int(\mathfrak{T}^4_4 + \mathfrak{t}^4_4)dV\right\} = \int_S\left(\mathfrak{t}^1_4 \cos(nx_1) + \mathfrak{t}^2_4 \cos(nx_2) + \mathfrak{t}^3_4 \cos(nx_3)\right)d\sigma</math>}}


어떤 이유가 되었든, <math>\mathfrak{t}^4_4</math>를 중력장의 에너지 밀도, <math>\left(\mathfrak{t}^1_4, \mathfrak{t}^2_4, \mathfrak{t}^3_4\right)</math>을 중력의 에너지 선속을 나타내는 성분으로 반드시 불러야 할 필요는 없다. 하지만 다음과 같이 주장할 수 있다: 우변은 명백히, <math>\mathfrak{t}^4_4</math>의 공간 상 적분이 "물질" 에너지 밀도 <math>\mathfrak{T}^4_4</math>의 것과 비교하여 작을 경우 계가 잃는 물질 에너지를 나타낸다. 나는 중력파에 관한 이전 논문과 이번 논문에서 이 관점만을 사용하였다.

레비치비타 씨는 (그리고 그 이전에, 덜 강조되었지만 이미 H.A. 로런츠 씨 또한) <math>(35)</math>와 다른 형태의 보존 정리를 구축할 것을 제안하였다. 그는 (그의 다른 동료들 또한) 방정식 <math>(35)</math>를 강조하는 것에 반대하였고, 또한 <math>\mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}</math>가 텐서를 형성하지 않는다는 점에서 상단의 해석에도 반대하였다. 후자는 물론 인정한다. 다만 나는 왜 텐서 성분의 변환 규칙을 갖는 양들만이 물리적 의미를 가져야 하는지 납득할 수 없다. 필요한 것은 오로지 방정식계 <math>(35)</math>가 참인 임의의 좌표계 선택에 대하여 유효한 방정식계 뿐일 따름이다. 레비치비타는 다음과 같은 형식의 에너지-운동량 정리를 제안하였다. 그는 중력장 방정식을 다음 형태로 쓴다.


{{수학형식2|<math>(37)</math>|<math>T_{im} + A_{im} = 0</math>}}


여기에서 <math>T_{im}</math>은 물질의 에너지 텐서이고 <math>A_{im}</math>은 좌표계에 대하여 <math>g_{\mu\nu}</math>와 그 일계, 이계 도함수에만 의존하는 공변 텐서이다. <math>A_{im}</math>은 중력장의 에너지 성분이라 부른다.

논리적으로는, 물론 이러한 단어 선택에 이의를 제기할 수 없다. 그러나 나는 <math>(37)</math>이 우리가 보존 정리로부터 유도해왔던 결론들을 제공하지 못한다고 본다. 이는 <math>(37)</math>에서 총 에너지의 성분들이 어디서나 사라진다는 사실에 연결되어 있다. 방정식 <math>(37)</math>은, 예를 들어 (방정식 <math>[35]</math>와 다르게) 물질계가 아무런 흔적을 남기지 못하고 무로 돌아갈 가능성을 배제하지 못한다. 왜냐하면 <math>(37)</math>에서 총 에너지는 (<math>(35)</math>와는 달리) 처음부터 <math>0</math>이기 때문이다. 이 에너지 값의 보존은 어떤 형태의 계라도 지속적으로 존재하도록 요구하지 않는다.
  
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== 각주 ==
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== 라이선스 ==
{{번역 저작권
| 원문 = {{PD-old-70}}
| 번역 = {{GFDL/CC-BY-SA-4.0}}
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