번역:해밀턴 원리와 일반 상대성 이론 문서 원본 보기

{{번역 머리말
| 제목 = 해밀턴 원리와 일반 상대성 이론
| 다른 표기 = HAMILTONsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie
| 부제 = Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1916) : 1111-1116
| 부제 다른 표기 =
| 저자 = [[w:알베르트 아인슈타인|알베르트 아인슈타인]](Albert Einstein)
| 역자 = 
| 이전 = 
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| 연도 = 
| 언어 = 
| 원본 = 
| portal = 상대성 이론
| 설명 = 독일어 원문: "HAMILTONsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie", ''Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften'' (1916) : 1111-1116

아인슈타인이 1915년 11월 25일 아인슈타인 방정식을 완성하고 힐베르트가 1915년 11월 20일 처음으로 리치 스칼라를 아인슈타인 방정식의 라그랑지언으로 선택한 뒤([[물리학의 기초: 첫번째 발표|참고]]), 로런츠가 뒤이어 변분법으로 아인슈타인 방정식을 구체적으로 유도하였다.[https://en.wikisource.org/wiki/On_Einstein%27s_Theory_of_gravitation]

아인슈타인은 1916년 11월 이 논문을 통해 독립적으로 완성된 변분 체계를 제시하였다. 이를 통해 기존 방법과 달리 좌표에 무관한 설명을 제시할 수 있었고, 또한 물질을 설명하는 데 있어서 전자기 과정에 의존하지 않고, 중력 에너지 (유사)텐서를 따로 정의하여 각각 힐베르트ㆍ로런츠와 차별화하였다.}}


{{c|{{xx-larger|'''해밀턴 원리와 일반 상대성 이론'''}}}}
{{c|HAMILTONsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie}}


{{c|'''알베르트 아인슈타인'''<br>
A.Einstein}}


H.A.로런츠와 D.힐베르트는 최근 일반 상대성 이론의 방정식을 단일 변분 원리로부터 유도함으로써 이론을 특별히 포괄적인 형태로 제시하는 데 성공하였다.<ref>H.A.로런츠의 Publikationer d. Koninkl. Akad. van Wetensch. te Amsterdam 1915, 1916년 호의 4개 논문 및 D.힐베르트의 Gött. Nachr. 1915, Heft. [[물리학의 기초: 첫번째 발표|395.]]</ref> 이곳에서도 같은 것을 할 것이다. 이곳에서 나의 목적은 일반 상대성 원리가 허용하는 한 최대한 투명하고 포괄적으로 그 근본적인 관련성을 제시하는 것이다. 힐베르트의 방법과 다르게, 나는 물질의 구성에 대한 가정을 최대한 줄일 것이다. 한편, 나의 이 주제에 관한 최근 접근 방식과도 다르게 좌표계의 선택은 완전히 자유롭게 둘 것이다.

=== §1. 변분 원리와 중력 및 물질의 장 방정식. ===
평소와 같이 중력장은 <math>g_{\mu\nu}</math>로 구성된 텐서(혹은 <math>g^{\mu\nu}</math>)로<ref>당분간, <math>g_{\mu\nu}</math>의 텐서 성질은 사용하지 않을 것이다.</ref> 기술하고, (전자기장을 포함한) 물질은 임의의 개수를 갖는 시공간 함수 <math>q_{(\varrho)}</math>로 기술하되 불변이론적 성질(invariantentheoretischer Charakter)은 무시한다. 또한, <math>\mathfrak H</math>는


{{c|<math>g^{\mu\nu}, \,\,g^{\mu\nu}_{\sigma} \left(=\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}\right), \,\,g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}\left(=\frac{\partial^2 g^{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}\partial x_{\tau}}\right)</math> 와 <math>\,\,q_{(\varrho)}, \,\,q_{(\varrho) \alpha} \left(=\frac{\partial q_{(\varrho)}}{\partial x_{\alpha}}\right)</math>}}


의 함수라 하자. 그러면 변분 원리


{{수학형식2|<math>(1)</math>|<math>\delta\left\{ \int \mathfrak{H}d\tau \right\} = 0</math>}}


은 함수 <math>g_{\mu\nu}</math>와 <math>q_{(\varrho)}</math>의 개수만큼의 미분 방정식을 제공하며, 이들은 <math>g^{\mu\nu}</math>와 <math>q_{(\varrho)}</math>들이 서로 독립적으로 변분되어 적분의 경계에서 <math>\delta q_{(\varrho)}, \,\,\delta g^{\mu\nu}, \,\,\frac{\partial \delta g^{\mu\nu}}{\partial x_{\sigma}}</math>가 모두 사라진다는 가정 속에 결정된다.

이제 <math>\mathfrak H</math>가 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}</math>에 대하여 선형이고 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}</math>의 계수가 <math>g^{\mu\nu}</math>에만 의존한다고 가정하자. 그러면 변분 원리 <math>(1)</math>은 우리에게 보다 편리한 형태로 대체할 수 있다. 적절한 부분적분을 통해


{{수학형식2|<math>(2)</math>|<math>\int \mathfrak{H}d\tau = \int \mathfrak{H}^*d\tau + F</math>}}


를 얻는데, 이 때 <math>F</math>는 고려하는 정의역의 경계를 영역으로 하는 적분이고, <math>\mathfrak{H}^*</math>는 <math>g^{\mu\nu}, g^{\mu\nu}_{\sigma}, q_{(\varrho)}, q_{(\varrho)\alpha}</math>에만 의존하고 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}</math>에는 의존하지 않는 양이다. 우리가 관심을 두는 변분에 대해서는 <math>(2)</math>로부터


{{수학형식2|<math>(3)</math>|<math>\delta \left\{\int \mathfrak{H}d\tau\right\} = \delta\left\{\int \mathfrak{H}^*d\tau\right\}</math>}}


를 얻으며, 이로부터 우리는 변분 원리 <math>(1)</math>을 보다 편리한


{{수학형식2|<math>(1a)</math>|<math>\delta\left\{\int \mathfrak{H}^*d\tau\right\}=0</math>}}


으로 교체할 수 있다.

<math>g^{\mu\nu}</math>과 <math>q_{(\varrho)}</math>를 따라서 변분을 취하면 중력과 물질의 장 방정식에 대하여 다음 방정식


{{수학형식2|<math>(4)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right)-\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial g^{\mu\nu}}=0</math>}}

{{수학형식2|<math>(5)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial q_{(\varrho)\alpha}}\right)-\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial q_{(\varrho)}}=0</math>}}


을 얻는다.<ref>축약을 위해, 이 공식에서 합 기호는 빠져 있다. 어느 항에 첨수가 두 번 등장하면 합이 이루어져야 한다. 예를 들어, <math>(4)</math>에서 <math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right)</math>는 <math>\sum_{\alpha}\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{H}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right)</math>를 나타낸다.</ref>

=== §2. 중력장의 독립적 실재. ===
에너지 성분을 두 개의 독립적인 부분으로 분리하여 하나는 중력장으로, 하나는 물질로 두는 것은 <math>\mathfrak H</math>가 <math>g^{\mu\nu}, \,g^{\mu\nu}_{\sigma}, \,g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}, \,q_{(\varrho)}, \,q_{(\varrho)\alpha}</math>에 의존하는 구체적 방식에 대하여 특수한 가정을 가하지 않는 한 불가능하다. 이론에 이러한 성질을 도입하기 위해서


{{수학형식2|<math>(6)</math>|<math>\mathfrak{H=G+M}</math>}}


이라 가정하자. 여기에서 <math>\mathfrak G</math>는 <math>g^{\mu\nu}, \,g^{\mu\nu}_{\sigma}, \,g^{\mu\nu}_{\sigma\tau}</math>에만 의존하고 <math>\mathfrak M</math>은 <math>g^{\mu\nu}, \,q_{(\varrho)}, \,q_{(\varrho)\alpha}</math>에만 의존한다. 이 때 방정식 <math>(4), \,(5)</math>는


{{수학형식2|<math>(7)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}\right)-\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\nu}}=\frac{\partial \mathfrak M}{\partial g^{\mu\nu}}</math>}}

{{수학형식2|<math>(8)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{M}}{\partial q_{(\varrho)\alpha}}\right)-\frac{\partial \mathfrak{M}}{\partial q_{(\varrho)}}=0</math>}}


의 형태를 갖는다. 여기에서 <math>\mathfrak G^*</math>와 <math>\mathfrak G</math>는 <math>\mathfrak H^*</math>와 <math>\mathfrak H</math>의 관계와 같다.

<math>\mathfrak M</math> 또는 <math>\mathfrak H</math>가 각각 <math>q_{(\varrho)}</math>의 일계 미분보다 높은 차수에 의존한다면 방정식 <math>(8)</math>과 <math>(5)</math>는 다른 것으로 교체해야 한다는 것을 주의해야 한다. 마찬가지로, <math>q_{(\alpha)}</math>가 서로 독립적이지 않고 조건 방정식들에 의해서 서로 연관되어 있을 가능성도 상상할 수 있다. 이들은 모두 앞으로의 전개에서 관련이 없는데, 그것이 오로지 우리의 적분을 <math>g^{\mu\nu}</math>에 대하여 변분한 방정식 <math>(7)</math>에만 의존하기 때문이다.

=== §3. 불변 이론에 기반한 중력장 방정식의 성질. ===
이제


{{수학형식2|<math>(9)</math>|<math>ds^2=g_{\mu\nu}dx_{\mu}dx_{\nu}</math>}}


가 불변이라는 가정을 도입하자. 이는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 변환적 성질을 고정한다. 물질을 기술하는 <math>q_{(\varrho)}</math>의 변환적 성질에 대해서는 아무런 가정도 하지 않는다. 그러나, 함수 <math>H=\frac{\mathfrak{H}}{\sqrt{-g}}</math>와 <math>G=\frac{\mathfrak{G}}{\sqrt{-g}}, \, M=\frac{\mathfrak{M}}{\sqrt{-g}}</math>은 시공간 좌표의 임의의 교체에 대하여 불변이어야 할 것이다. 이 가정으로부터 <math>(1)</math>에서 유도된 방정식 <math>(7)</math>과 <math>(8)</math>의 일반 공변성이 도출된다. 더 나아가 (비례상수를 감안한) <math>G</math>가 리만 곡률 텐서의 스칼라라는 결론이 나오는데, <math>G</math>에 요구되는 성질을 만족시키는 다른 불변량은 없기 때문이다.<ref>이것이 일반 상대성의 요구가 상당히 구체적인 중력 이론으로 이어지는 이유이다.</ref> 이것으로, <math>\mathfrak{G}^*</math> 그리고 그에 따라 장 방정식 <math>(7)</math>의 좌변은 완전히 결정된다.<ref>부분 적분을 수행하면


{{c|<math>\mathfrak{G}^*=\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\left[\left\{{\mu\alpha\atop \beta}\right\}\left\{{\nu\beta\atop \alpha}\right\}-\left\{{\mu\nu\atop \alpha}\right\}\left\{{\alpha\beta\atop \beta}\right\}\right]</math>}}

가 도출된다.</ref>

일반 상대성의 공준은 함수 <math>\mathfrak G^*</math>의 어떤 성질을 수반하는데, 이것을 지금 유도할 것이다. 이 목적을 위해서 좌표의 무한히 작은 변환을 수행하여


{{수학형식2|<math>(10)</math>|<math>x_{\nu}' = x_{\nu} + \Delta x_{\nu}</math>}}


라 둔다. 여기에서 <math>\Delta x_{\nu}</math>는 좌표에 대하여 임의로 부여되는 무한히 작은 함수이다. <math>x_{\nu}'</math>은 새로운 좌표계에서의 세계점(world point)의 좌표를 나타내며, 원래 좌표계에서 <math>x_{\nu}</math> 좌표를 갖는 점과 같은 점이다. 좌표처럼, 다른 임의의 양 <math>\psi</math>에 대한 변환 규칙이 있어서


{{c|<math>\psi'=\psi + \Delta \psi</math>}}


와 같다. 여기에서 <math>\Delta \psi</math>는 반드시 언제나 <math>\Delta x_{\nu}</math>의 항으로 기술될 수 있어야 한다. <math>g^{\mu\nu}</math>의 공변적 성질로부터 <math>g^{\mu\nu}</math>와 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma}</math> 에 대한 변환 규칙은 쉽게 유도할 수 있다:


{{수학형식2|<math>(11)</math>|<math>\Delta g^{\mu\nu}=g^{\mu\alpha}\frac{\partial \Delta x_{\nu}}{\partial x_{\alpha}} + g^{\nu\alpha}\frac{\partial \Delta x_{\mu}}{\partial x_{\alpha}} </math>}}

{{수학형식2|<math>(12)</math>|<math>\Delta g^{\mu\nu}_{\sigma}=\frac{\partial (\Delta g^{\mu\nu})}{\partial x_{\sigma}} - g^{\mu\nu}_{\alpha}\frac{\partial \Delta x_{\alpha}}{\partial x_{\sigma}}</math>}}


<math>\Delta \mathfrak{G}^*</math>는 <math>(11)</math>과 <math>(12)</math>의 도움으로 계산될 수 있는데, <math>\mathfrak G^*</math>는 오직 <math>g^{\mu\nu}</math>와 <math>g^{\mu\nu}_{\sigma}</math>에만 의존하기 때문이다. 따라서, 다음 방정식


{{수학형식2|<math>(13)</math>|<math>\sqrt{-g}\Delta\left(\frac{\mathfrak{G}^*}{\sqrt{-g}}\right) = S^{\nu}_{\sigma}\frac{\partial \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{\nu}} + 2\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}g^{\mu\nu}\frac{\partial^2 \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}}</math>}}


을 얻으며, 여기에서


{{수학형식2|<math>(14)</math>|<math>S^{\nu}_{\sigma}=2\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}}g^{\mu\nu} + 2\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}_{\alpha}}g^{\mu\nu}_{\alpha} + \mathfrak{G}^* \delta^{\nu}_{\sigma} - \frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\alpha}_{\nu}}g^{\mu\alpha}_{\sigma}</math>}}


라 두었다. 이 두 방정식으로부터 우리는 앞으로 중요해지는 두 개의 결론을 얻는다. 우리는 <math>\frac{\mathfrak{G}}{\sqrt{-g}}</math>가 임의의 변환에 대하여 불변이지만  <math>\frac{\mathfrak{G}^*}{\sqrt{-g}}</math>는 그렇지 않다는 것을 안다. 하지만, 후자의 양이 좌표의 선형 변환에 대하여 불변이라는 것은 쉽게 증명된다. 결과적으로, <math>(13)</math>의 우변은 <math>\frac{\partial^2 \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}}</math>가 사라질 때 반드시 항상 사라져야 한다. 그러면 <math>\mathfrak{G}^*</math>는 반드시 항등식


{{수학형식2|<math>(15)</math>|<math>S^{\nu}_{\sigma} \equiv 0</math>}}


을 만족시켜야 한다.

만약 더 나아가 <math>\Delta x_{\nu}</math>가 고려하는 정의역 내부에서만 <math>0</math>과 다르고 경계의 무한한 근방에서는 사라진다고 설정하면, 방정식 <math>(2)</math>에서 경계를 따라 적분한 값은 좌표 변환 동안 변하지 않는다. 그러므로


{{c|<math>\Delta (F) = 0</math>}}


을 얻고, 따라서<ref><math>\mathfrak{H}</math>와 <math>\mathfrak{H}^*</math> 대신 <math>\mathfrak{G}</math>와 <math>\mathfrak{G}^*</math>를 도입하여</ref>


{{c|<math>\Delta\left\{\int\mathfrak{G}d\tau\right\}=\Delta\left\{\int\mathfrak{G}^*d\tau\right\}</math>}}


를 얻는다. 그런데 방정식의 좌변은 <math>\frac{\mathfrak{G}^*}{\sqrt{-g}}</math>와 <math>\sqrt{-g}d\tau</math>가 불변이므로 반드시 사라져야 한다. <math>(13), (14), (15)</math>에 의해 다음으로 방정식


{{수학형식2|<math>(16)</math>|<math>\int\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}_{\alpha}}g^{\mu\nu}\frac{\partial^2 \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}}d\tau=0</math>}}


을 얻는다.

두 번의 부분적분으로 정리하고, <math>\Delta x_{\sigma}</math>의 자유도를 고려하면 항등식


{{수학형식2|<math>(17)</math>|<math>\frac{\partial^2}{\partial x_{\nu}\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}_{\alpha}}g^{\mu\nu}\right) \equiv 0</math>}}


을 얻는다. 이제 <math>\frac{\mathfrak{G}}{\sqrt{-g}}</math>의 불변성, 즉 일반 상대성 공준으로부터 유도된 두 항등식 <math>(15)</math>와 <math>(17)</math>로부터 몇 가지 결과를 이끌어내야 한다.

중력장 방정식 <math>(7)</math>은 먼저 <math>g^{\mu\nu}</math>의 혼합 곱셈에 의해 변형될 수 있다. 그러면 (첨수 <math>\sigma</math>와 <math>\nu</math>를 교환하여) 방정식 <math>(7)</math>의 한 동치로써 다음 방정식


{{수학형식2|<math>(18)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\nu}_{\alpha}}g^{\mu\nu}\right) = -(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma})</math>}}


를 얻는다. 여기에서


{{수학형식2|<math>\begin{aligned} (19)\\ \\ \\ (20)\end{aligned}</math>|<math>\begin{aligned}\displaystyle \mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} &= -\frac{\partial \mathfrak M}{\partial g^{\mu\sigma}}g^{\mu\nu} \\ \\ \displaystyle \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma} &= -\left(\frac{\partial\mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}_{\alpha}}g^{\mu\nu}_{\alpha} + \frac{\partial\mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\sigma}}g^{\mu\nu}\right) = \frac{1}{2}\left(\mathfrak{G}^*\delta^{\nu}_{\sigma} - \frac{\partial \mathfrak{G}^*}{\partial g^{\mu\alpha}_{\nu}}g^{\mu\alpha}_{\sigma}\right)\end{aligned}</math>}}


라 두었다. <math>\mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}</math>의 후자 표현은 <math>(14)</math>와 <math>(15)</math>에 의해 정당화된다. <math>(18)</math>을 <math>x_{\nu}</math>에 대하여 미분하고 <math>\nu</math>에 대하여 더하면, <math>(17)</math>을 고려했을 때


{{수학형식2|<math>(21)</math>|<math>\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\left(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}\right)=0</math>}}


을 얻는다.

방정식 <math>(21)</math>은 운동량과 에너지의 보존을 나타낸다. 우리는 <math>\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}</math>를 물질 에너지의 성분, <math>\mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}</math>를 중력장 에너지의 성분이라 부른다.

중력장 방정식 <math>(7)</math>로부터 (<math>g^{\mu\nu}_{\sigma}</math>를 곱한 다음, <math>\mu</math>와 <math>{\nu}</math>에 대하여 더하고 <math>(20)</math>을 고려하면)


{{c|<math>\frac{\partial \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}}{\partial x_{\nu}} + \frac{1}{2}g^{\mu\nu}_{\sigma}\frac{\partial \mathfrak{M}}{\partial g^{\mu\nu}} = 0</math>}}


또는 <math>(19)</math>와 <math>(20)</math>을 고려하면,


{{수학형식2|<math>(22)</math>|<math>\frac{\partial \mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}}{\partial x_{\nu}} + \frac{1}{2}g^{\mu\nu}_{\sigma}\mathfrak{T}_{\mu\nu} = 0</math>}}


을 얻는다. 여기에서 <math>\mathfrak{T}_{\mu\nu}</math>는 <math>g_{\nu\sigma}\mathfrak{T}^{\sigma}_{\mu}</math>를 나타낸다. 이들은 물질 에너지의 성분이 만족시켜야 하는 네 개의 방정식이다.

여기에서 (일반 공변적인) 보존 법칙 <math>(21)</math>과 <math>(22)</math>가 (일반 공변성 공준과 함께) 중력장 방정식 <math>(7)</math> 만으로부터 유도되었으며 물질 과정에 대한 장 방정식 <math>(8)</math>은 사용하지 않았다는 것을 강조한다. 
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== 각주 ==
{{각주}}

== 라이선스 ==
{{번역 저작권
| 원문 = {{PD-old-70}}
| 번역 = {{GFDL/CC-BY-SA-4.0}}
}}