번역:해밀턴 원리와 일반 상대성 이론

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H.A.로런츠와 D.힐베르트는 최근 일반 상대성 이론의 방정식을 단일 변분 원리로부터 유도함으로써 이론을 특별히 포괄적인 형태로 제시하는 데 성공하였다. 이곳에서도 같은 것을 할 것이다. 이곳에서 나의 목적은 일반 상대성 원리가 허용하는 한 최대한 투명하고 포괄적으로 그 근본적인 관련성을 제시하는 것이다. 힐베르트의 방법과 다르게, 나는 물질의 구성에 대한 가정을 최대한 줄일 것이다. 한편, 나의 이 주제에 관한 최근 접근 방식과도 다르게 좌표계의 선택은 완전히 자유롭게 둘 것이다.

§1. 변분 원리와 중력 및 물질의 장 방정식.

평소와 같이 중력장은 $g_{\mu \nu }$로 구성된 텐서(혹은 $g^{\mu \nu }$)로 기술하고, (전자기장을 포함한) 물질은 임의의 개수를 갖는 시공간 함수 $q_{(\varrho )}$로 기술하되 불변이론적 성질(invariantentheoretischer Charakter)은 무시한다. 또한, $ℌ$는

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의 함수라 하자. 그러면 변분 원리

$\delta \{\int ℌd\tau \}=0$

$(1)$

은 함수 $g_{\mu \nu }$와 $q_{(\varrho )}$의 개수만큼의 미분 방정식을 제공하며, 이들은 $g^{\mu \nu }$와 $q_{(\varrho )}$들이 서로 독립적으로 변분되어 적분의 경계에서 $\delta q_{(\varrho )},\delta g^{\mu \nu },\frac{\partial \delta g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}$가 모두 사라진다는 가정 속에 결정된다.

이제 $ℌ$가 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에 대하여 선형이고 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$의 계수가 $g^{\mu \nu }$에만 의존한다고 가정하자. 그러면 변분 원리 $(1)$은 우리에게 보다 편리한 형태로 대체할 수 있다. 적절한 부분적분을 통해

$\int ℌd\tau =\int {ℌ}^{*}d\tau +F$

$(2)$

를 얻는데, 이 때 $F$는 고려하는 정의역의 경계를 영역으로 하는 적분이고, ${ℌ}^{*}$는 $g^{\mu \nu },g_{\sigma }^{\mu \nu },q_{(\varrho )},q_{(\varrho )\alpha }$에만 의존하고 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에는 의존하지 않는 양이다. 우리가 관심을 두는 변분에 대해서는 $(2)$로부터

$\delta \{\int ℌd\tau \}=\delta \{\int {ℌ}^{*}d\tau \}$

$(3)$

를 얻으며, 이로부터 우리는 변분 원리 $(1)$을 보다 편리한

$\delta \{\int {ℌ}^{*}d\tau \}=0$

$(1a)$

으로 교체할 수 있다.

$g^{\mu \nu }$과 $q_{(\varrho )}$를 따라서 변분을 취하면 중력과 물질의 장 방정식에 대하여 다음 방정식

$\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial {ℌ}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}\right)-\frac{\partial {ℌ}^{*}}{\partial g^{\mu \nu }}=0$

$(4)$

$\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial {ℌ}^{*}}{\partial q_{(\varrho )\alpha }}\right)-\frac{\partial {ℌ}^{*}}{\partial q_{(\varrho )}}=0$

$(5)$

을 얻는다.

§2. 중력장의 독립적 실재.

에너지 성분을 두 개의 독립적인 부분으로 분리하여 하나는 중력장으로, 하나는 물질로 두는 것은 $ℌ$가 $g^{\mu \nu },g_{\sigma }^{\mu \nu },g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },q_{(\varrho )},q_{(\varrho )\alpha }$에 의존하는 구체적 방식에 대하여 특수한 가정을 가하지 않는 한 불가능하다. 이론에 이러한 성질을 도입하기 위해서

$ℌ\mathfrak{=}𝔊\mathfrak{+}𝔐$

$(6)$

이라 가정하자. 여기에서 $𝔊$는 $g^{\mu \nu },g_{\sigma }^{\mu \nu },g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에만 의존하고 $𝔐$은 $g^{\mu \nu },q_{(\varrho )},q_{(\varrho )\alpha }$에만 의존한다. 이 때 방정식 $(4),(5)$는

$\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}\right)-\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g^{\mu \nu }}=\frac{\partial 𝔐}{\partial g^{\mu \nu }}$

$(7)$

$\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial 𝔐}{\partial q_{(\varrho )\alpha }}\right)-\frac{\partial 𝔐}{\partial q_{(\varrho )}}=0$

$(8)$

의 형태를 갖는다. 여기에서 ${𝔊}^{*}$와 $𝔊$는 ${ℌ}^{*}$와 $ℌ$의 관계와 같다.

$𝔐$ 또는 $ℌ$가 각각 $q_{(\varrho )}$의 일계 미분보다 높은 차수에 의존한다면 방정식 $(8)$과 $(5)$는 다른 것으로 교체해야 한다는 것을 주의해야 한다. 마찬가지로, $q_{(\alpha )}$가 서로 독립적이지 않고 조건 방정식들에 의해서 서로 연관되어 있을 가능성도 상상할 수 있다. 이들은 모두 앞으로의 전개에서 관련이 없는데, 그것이 오로지 우리의 적분을 $g^{\mu \nu }$에 대하여 변분한 방정식 $(7)$에만 의존하기 때문이다.

§3. 불변 이론에 기반한 중력장 방정식의 성질.

이제

$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}_{\mu }d{x}_{\nu }$

$(9)$

가 불변이라는 가정을 도입하자. 이는 $g_{\mu \nu }$의 변환적 성질을 고정한다. 물질을 기술하는 $q_{(\varrho )}$의 변환적 성질에 대해서는 아무런 가정도 하지 않는다. 그러나, 함수 $H=\frac{ℌ}{\sqrt{-g}}$와 $G=\frac{𝔊}{\sqrt{-g}},M=\frac{𝔐}{\sqrt{-g}}$은 시공간 좌표의 임의의 교체에 대하여 불변이어야 할 것이다. 이 가정으로부터 $(1)$에서 유도된 방정식 $(7)$과 $(8)$의 일반 공변성이 도출된다. 더 나아가 (비례상수를 감안한) $G$가 리만 곡률 텐서의 스칼라라는 결론이 나오는데, $G$에 요구되는 성질을 만족시키는 다른 불변량은 없기 때문이다. 이것으로, ${𝔊}^{*}$ 그리고 그에 따라 장 방정식 $(7)$의 좌변은 완전히 결정된다.

일반 상대성의 공준은 함수 ${𝔊}^{*}$의 어떤 성질을 수반하는데, 이것을 지금 유도할 것이다. 이 목적을 위해서 좌표의 무한히 작은 변환을 수행하여

$x_{{\nu }^{\prime }}=x_{\nu }+\mathrm{\Delta }{x}_{\nu }$

$(10)$

라 둔다. 여기에서 $\mathrm{\Delta }{x}_{\nu }$는 좌표에 대하여 임의로 부여되는 무한히 작은 함수이다. $x_{{\nu }^{\prime }}$은 새로운 좌표계에서의 세계점(world point)의 좌표를 나타내며, 원래 좌표계에서 $x_{\nu }$ 좌표를 갖는 점과 같은 점이다. 좌표처럼, 다른 임의의 양 $\psi$에 대한 변환 규칙이 있어서

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와 같다. 여기에서 $\mathrm{\Delta }\psi$는 반드시 언제나 $\mathrm{\Delta }{x}_{\nu }$의 항으로 기술될 수 있어야 한다. $g^{\mu \nu }$의 공변적 성질로부터 $g^{\mu \nu }$와 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$ 에 대한 변환 규칙은 쉽게 유도할 수 있다:

$\mathrm{\Delta }{g}^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }\frac{\partial \mathrm{\Delta }{x}_{\nu }}{\partial x_{\alpha }}+g^{\nu \alpha }\frac{\partial \mathrm{\Delta }{x}_{\mu }}{\partial x_{\alpha }}$

$(11)$

$\mathrm{\Delta }{g}_{\sigma }^{\mu \nu }=\frac{\partial (\mathrm{\Delta }{g}^{\mu \nu })}{\partial x_{\sigma }}-g_{\alpha }^{\mu \nu }\frac{\partial \mathrm{\Delta }{x}_{\alpha }}{\partial x_{\sigma }}$

$(12)$

$\mathrm{\Delta }{𝔊}^{*}$는 $(11)$과 $(12)$의 도움으로 계산될 수 있는데, ${𝔊}^{*}$는 오직 $g^{\mu \nu }$와 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$에만 의존하기 때문이다. 따라서, 다음 방정식

$\sqrt{-g}\mathrm{\Delta }\left(\frac{{𝔊}^{*}}{\sqrt{-g}}\right)=S_{\sigma }^{\nu }\frac{\partial \mathrm{\Delta }{x}_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}+2\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{g}^{\mu \nu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Delta }{x}_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}$

$(13)$

을 얻으며, 여기에서

$S_{\sigma }^{\nu }=2\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma }}{g}^{\mu \nu }+2\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}{g}_{\alpha }^{\mu \nu }+{𝔊}^{*}{\delta }_{\sigma }^{\nu }-\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}{g}_{\sigma }^{\mu \alpha }$

$(14)$

라 두었다. 이 두 방정식으로부터 우리는 앞으로 중요해지는 두 개의 결론을 얻는다. 우리는 $\frac{𝔊}{\sqrt{-g}}$가 임의의 변환에 대하여 불변이지만 $\frac{{𝔊}^{*}}{\sqrt{-g}}$는 그렇지 않다는 것을 안다. 하지만, 후자의 양이 좌표의 선형 변환에 대하여 불변이라는 것은 쉽게 증명된다. 결과적으로, $(13)$의 우변은 $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Delta }{x}_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}$가 사라질 때 반드시 항상 사라져야 한다. 그러면 ${𝔊}^{*}$는 반드시 항등식

$S_{\sigma }^{\nu }\equiv 0$

$(15)$

을 만족시켜야 한다.

만약 더 나아가 $\mathrm{\Delta }{x}_{\nu }$가 고려하는 정의역 내부에서만 $0$과 다르고 경계의 무한한 근방에서는 사라진다고 설정하면, 방정식 $(2)$에서 경계를 따라 적분한 값은 좌표 변환 동안 변하지 않는다. 그러므로

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을 얻고, 따라서

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를 얻는다. 그런데 방정식의 좌변은 $\frac{{𝔊}^{*}}{\sqrt{-g}}$와 $\sqrt{-g}d\tau$가 불변이므로 반드시 사라져야 한다. $(13),(14),(15)$에 의해 다음으로 방정식

$\int \frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}{g}^{\mu \nu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Delta }{x}_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}d\tau =0$

$(16)$

을 얻는다.

두 번의 부분적분으로 정리하고, $\mathrm{\Delta }{x}_{\sigma }$의 자유도를 고려하면 항등식

$\frac{{\partial }^2}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}{g}^{\mu \nu }\right)\equiv 0$

$(17)$

을 얻는다. 이제 $\frac{𝔊}{\sqrt{-g}}$의 불변성, 즉 일반 상대성 공준으로부터 유도된 두 항등식 $(15)$와 $(17)$로부터 몇 가지 결과를 이끌어내야 한다.

중력장 방정식 $(7)$은 먼저 $g^{\mu \nu }$의 혼합 곱셈에 의해 변형될 수 있다. 그러면 (첨수 $\sigma$와 $\nu$를 교환하여) 방정식 $(7)$의 한 동치로써 다음 방정식

$\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{g}^{\mu \nu }\right)=-({𝔗}_{\sigma }^{\nu }+{𝔱}_{\sigma }^{\nu })$

$(18)$

를 얻는다. 여기에서

$\begin{array}{cc}{𝔗}_{\sigma }^{\nu }& =-\frac{\partial 𝔐}{\partial g^{\mu \sigma }}{g}^{\mu \nu }\\ \\ {𝔱}_{\sigma }^{\nu }& =-(\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}{g}_{\alpha }^{\mu \nu }+\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma }}{g}^{\mu \nu })=\frac{1}{2}({𝔊}^{*}{\delta }_{\sigma }^{\nu }-\frac{\partial {𝔊}^{*}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}{g}_{\sigma }^{\mu \alpha })\end{array}$

$\begin{array}{c}(19)\\ \\ \\ (20)\end{array}$

라 두었다. ${𝔱}_{\sigma }^{\nu }$의 후자 표현은 $(14)$와 $(15)$에 의해 정당화된다. $(18)$을 $x_{\nu }$에 대하여 미분하고 $\nu$에 대하여 더하면, $(17)$을 고려했을 때

$\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}({𝔗}_{\sigma }^{\nu }+{𝔱}_{\sigma }^{\nu })=0$

$(21)$

을 얻는다.

방정식 $(21)$은 운동량과 에너지의 보존을 나타낸다. 우리는 ${𝔗}_{\sigma }^{\nu }$를 물질 에너지의 성분, ${𝔱}_{\sigma }^{\nu }$를 중력장 에너지의 성분이라 부른다.

중력장 방정식 $(7)$로부터 ($g_{\sigma }^{\mu \nu }$를 곱한 다음, $\mu$와 $\nu$에 대하여 더하고 $(20)$을 고려하면)

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또는 $(19)$와 $(20)$을 고려하면,

$\frac{\partial {𝔗}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}+\frac{1}{2}{g}_{\sigma }^{\mu \nu }{𝔗}_{\mu \nu }=0$

$(22)$

을 얻는다. 여기에서 ${𝔗}_{\mu \nu }$는 $g_{\nu \sigma }{𝔗}_{\mu }^{\sigma }$를 나타낸다. 이들은 물질 에너지의 성분이 만족시켜야 하는 네 개의 방정식이다.

여기에서 (일반 공변적인) 보존 법칙 $(21)$과 $(22)$가 (일반 공변성 공준과 함께) 중력장 방정식 $(7)$ 만으로부터 유도되었으며 물질 과정에 대한 장 방정식 $(8)$은 사용하지 않았다는 것을 강조한다.

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